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L’équation qui détermine $a$ deviendra ainsi, à très peu près,

$a={\frac {p}{p+q}}+{\frac {ia^{n+1}(1-a)^{n}2^{2n}{\sqrt {n}}}{(p+q){\sqrt {\pi }}}}.$

Pour la résoudre, nous observerons que $a$ diffère très peu de ${\frac {p}{p+q}},$ en sorte que, si l’on suppose $a={\frac {p}{p+q}}+\mu ,\ \mu$ sera fort petit, et l’on aura, d’une manière très approchée,

$\mu ={\frac {i{\sqrt {n}}2^{2n}\left({\cfrac {p}{p+q}}\right)^{n+1}\left({\cfrac {q}{p+q}}\right)^{n}}{(p+q){\sqrt {\pi }}}}e^{-n\mu {\frac {(p+q)(p-q)}{pq}}}.$

Maintenant, si l’on divise par $26$ la somme des naissances observées à Paris depuis 1745 jusqu’en 1770, on aura, à très peu près, $19000$ pour le nombre annuel des naissances ; nous supposerons ainsi $n=9500,\ i=100\,;$ on a d’ailleurs

$p=251527,\qquad q=241945.$

L’équation précédente deviendra donc

$\mu =0{,}000157929e^{-\mu .738144},$

d’où l’on tire

$\mu =0{,}00014222$

et, par conséquent,

$a=0{,}5098509.$

Le radical

${\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\frac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}}$

devient, en substituant, au lieu de ${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}},$ sa valeur ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}{\frac {n-(2n-1)a}{a(1-a)}},$ et, au lieu de ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}$ sa valeur ${\frac {(p+q)a-p}{ia(1-a)}}$ ou ${\frac {(p+q)\mu }{ia(1-a)}},$ donnée par l’équation du maximum,

${\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+\mu (p+q)\left[{\frac {(p+q)\mu }{i}}+(2n-1)a-n\right]}}=369{,}419\,;$