L’équation qui détermine
deviendra ainsi, à très peu près,
![{\displaystyle a={\frac {p}{p+q}}+{\frac {ia^{n+1}(1-a)^{n}2^{2n}{\sqrt {n}}}{(p+q){\sqrt {\pi }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a588a36568a4cd7799fd7da05ece1a1e79399f2a)
Pour la résoudre, nous observerons que
diffère très peu de
en sorte que, si l’on suppose
sera fort petit, et l’on aura, d’une manière très approchée,
![{\displaystyle \mu ={\frac {i{\sqrt {n}}2^{2n}\left({\cfrac {p}{p+q}}\right)^{n+1}\left({\cfrac {q}{p+q}}\right)^{n}}{(p+q){\sqrt {\pi }}}}e^{-n\mu {\frac {(p+q)(p-q)}{pq}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7f18252d4c43ff6b67a3b4f29adfe985490f68)
Maintenant, si l’on divise par
la somme des naissances observées à Paris depuis 1745 jusqu’en 1770, on aura, à très peu près,
pour le nombre annuel des naissances ; nous supposerons ainsi
on a d’ailleurs
![{\displaystyle p=251527,\qquad q=241945.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424c30b997879427a1da139ba598bdc9f63737d6)
L’équation précédente deviendra donc
![{\displaystyle \mu =0{,}000157929e^{-\mu .738144},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b366597a2f9c097fb118f9d4b29ec27459a8bd0)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mu =0{,}00014222}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cded9a1ddf3c814870fa34c2b5a3b5d21645709)
et, par conséquent,
![{\displaystyle a=0{,}5098509.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25cfe0056b92d0187f4e6039006a2b07f995c9c)
Le radical
![{\displaystyle {\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\frac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad2378f27058aaf934831357b9d16dfa1b8d803)
devient, en substituant, au lieu de
sa valeur
et, au lieu de
sa valeur
ou
donnée par l’équation du maximum,
![{\displaystyle {\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+\mu (p+q)\left[{\frac {(p+q)\mu }{i}}+(2n-1)a-n\right]}}=369{,}419\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23dafb3fffcd2d8b5284aa7a02691a27b47af0d4)