Soient
le nombre observé des naissances des garçons à Paris ;
celui des filles ;
le nombre annuel des naissances ;
la possibilité des naissances des garçons. Le binôme
donne par son développement
![{\displaystyle x^{2n}+2nx^{2n-1}(1-x)+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}x^{2n-2}(1-x)^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b107243b26da3c8230a30b3c74881b959a41852a)
et la somme des
premiers termes sera la probabilité que le nombre des garçons l’emportera, chaque année, sur celui des filles. Nommons
cette somme ;
sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra durant le nombre
d’années consécutives. Partant, si
désigne la vraie probabilité que cela aura lieu, on aura, par le no XLI,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {\int x^{p}dxz^{i}(1-x)^{q}}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e99d1d6ee96c565ec3502757663c4d2b3c0203)
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c68848dcaa8574feb04951e71070f80b77f752)
Si l’on nomme
la valeur de
qui répond au maximum de
et que l’on désigne par
ce que deviennent
lorsqu’on y change
en
on aura, par le no VI,
![{\displaystyle \int x^{p}z^{i}(1-x)^{q}={\frac {a^{p+1}(1-a)^{q+1}\mathrm {Z} ^{i}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\cfrac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743db350a6e58f880895121535a5752e1d4bf80d)
étant la somme des
premiers termes de la fonction
![{\displaystyle x^{2n}\left[1+2n{\frac {1-x}{x}}+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{2}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb85758a103b265632a635608709aad5848546b)
on a, par le no XXI,
![{\displaystyle z={\frac {\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65df90669eb85c663a1105e7102a20c33bb5eff)
l’intégrale du numérateur étant prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5493c0d1eac9c76b5818cf429245b1270e885313)