Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/352

Soient $p$ le nombre observé des naissances des garçons à Paris ; $q$ celui des filles ; $2n$ le nombre annuel des naissances ; $x$ la possibilité des naissances des garçons. Le binôme $(x+1-x)^{2n}$ donne par son développement

$x^{2n}+2nx^{2n-1}(1-x)+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}x^{2n-2}(1-x)^{2}+\ldots ,$

et la somme des $n$ premiers termes sera la probabilité que le nombre des garçons l’emportera, chaque année, sur celui des filles. Nommons $z$ cette somme ; $z'$ sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra durant le nombre $i$ d’années consécutives. Partant, si $\mathrm {P}$ désigne la vraie probabilité que cela aura lieu, on aura, par le n^o XLI,

$\mathrm {P} ={\frac {\int x^{p}dxz^{i}(1-x)^{q}}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$

Si l’on nomme $a$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $x^{p}z^{i}(1-x)^{q},$ et que l’on désigne par $\mathrm {Z} ,{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dx^{2}}}$ ce que deviennent $z,{\frac {dz}{dx}},{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ on aura, par le n^o VI,

$\int x^{p}z^{i}(1-x)^{q}={\frac {a^{p+1}(1-a)^{q+1}\mathrm {Z} ^{i}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\cfrac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}}},$

$z$ étant la somme des $n$ premiers termes de la fonction

$x^{2n}\left[1+2n{\frac {1-x}{x}}+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{2}+\ldots \right],$

on a, par le n^o XXI,

$z={\frac {\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $u={\frac {1-x}{x}}$ jusqu’à $u=\infty .$