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en faisant, après la différentiation, $\theta =\alpha$ dans le premier terme, $\theta =\alpha '$ dans le second terme, $\theta =\alpha ''$ dans le troisième terme, et ainsi de suite. Cela posé, soit

$\mathrm {V} =a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q,$

et supposons que, en mettant cette quantité sous la forme d’un produit, on ait

$\mathrm {V} =a(\theta -\alpha )(\theta -\alpha ')(\theta -\alpha '')\ldots \,;$

en développant la fraction ${\frac {1}{\mathrm {V} -z\theta ^{n}}}$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $z,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {V} }}+{\frac {z\theta ^{n}}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {z^{2}\theta ^{2n}}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {z^{3}\theta ^{3n}}{\mathrm {V} ^{2}}}+\ldots ,$

et le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}$ sera par ce qui précède, égal à

$-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)a^{s}}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial \theta ^{s-1}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s}(\theta -\alpha '')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha '')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s}\ldots }}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

pourvu que, après les différentiations, on suppose $\theta =\alpha$ dans le premier terme, $\theta =\alpha '$ dans le second terme, $\theta =a''$ dans le troisième terme, etc. Soit $\mathrm {Z} _{r}^{(s-1)}$ ce que devient alors cette quantité, le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{\mathrm {V} -z\theta ^{n}}}$ sera

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}+\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}z+\mathrm {Z} _{i-2n}^{(2)}z^{2}+\mathrm {Z} _{i-3n}^{(3)}z^{3}+\ldots \,;$

on aura donc, pour le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la