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les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$.

Cette formule renferme la loi suivant laquelle les événements passés influent sur la probabilité des événements futurs ; examinons cette influence dans quelques cas particuliers. Pour cela, supposons qu’une urne renferme une infinité de boules blanches et noires, et que, après en avoir tiré une boule blanche, on cherche la probabilité d’amener une boule semblable au tirage suivant. Si l’on nomme $x$ le rapport des boules blanches de l’urne au nombre total des boules, il est clair que $x$ sera la probabilité, tant de l’événement observé que de l’événement futur ; on aura donc

$\mathrm {P} ={\frac {\int x^{2}dx}{\int xdx}}={\frac {2}{3}},$

c’est-à-dire qu’il y à deux contre un à parier que l’on amènera au second tirage une boule semblable à celle du premier tirage.

En supposant toujours que l’on ait amené une boule blanche au premier tirage, si l’on cherche la probabilité d’amener ensuite $n$ boules noires, $x$ sera la probabilité du résultat observé, et $(1-x)^{n}$ celle du résultat futur ; on aura donc alors

$\mathrm {P} ={\frac {\int x(1-x)^{n}dx}{\int xdx}}={\frac {2}{(n+1)(n+2)}}.$

Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal dans l’urne, on aurait $\mathrm {P} ={\frac {1}{2^{n}}}\,;$ cette valeur de $\mathrm {P}$ est plus petite que la précédente lorsque $n$ est égal ou plus grand que $4\,;$ d’où il résulte que, quoique le premier tirage rende probable que les boules blanches sont en plus grand nombre que les noires, cependant la probabilité d’amener quatre boules noires dans les quatre tirages siiivants est plus considérable que si l’on supposait le nombre des boules noires égal à celui des boules blanches. Ce résultat, qui semble paradoxe, tient à ce que la probabilité d’amener $n$ boules noires est égale à la probabilité d’en