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de ${\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}},$ et par conséquent, il sera égal à

${\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial t^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}},$

pourvu que l’on suppose $t=0$ après les différentiations. Maintenant, le coefficient de $\theta ^{r}$ dans ${\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}},$ étant égal à $-{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha +t)^{r+1}}},$ ce même coefficient dans ${\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial t^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha -\theta -t)}},$ sera

$-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial t^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha +t)^{r+1}}},$

$t$ étant supposé nul après les différentiations. Cette dernière quantité sera donc le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de ${\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}\,;$ or, si l’on restitue, dans $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} ',\ \theta -\alpha$ au lieu de $t,$ ce qui les change en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R} ,$ on aura

${\frac {\partial ^{s-1}}{\partial t^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(t+\alpha )^{r+1}}}={\frac {\partial ^{s-1}}{\partial \theta ^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} \theta ^{r+1}}},$

pourvu que l’on suppose $\theta =\alpha ,$ après les différentiations dans le second membre de cette équation ; $-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {\partial ^{s-1}}{\partial \theta ^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} \theta ^{r+1}}}$ sera donc, avec cette condition, le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}.$

Il suit de là que, si l’on suppose

$\mathrm {Q} =\alpha (\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots ,$

le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ sera

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}\ {\frac {\partial ^{s-1}}{\partial \theta ^{s-1}}}\ {\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha ')^{s'}\ldots }},\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s'-1)}}\,{\frac {\partial ^{s'-1}}{\partial \theta ^{s'-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots }},\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s''-1)}}{\frac {\partial ^{s''-1}}{\partial \theta ^{s''-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}\ldots }},\end{aligned}}$