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mules du n^o XXXVI. Si l’on désigne par $x$ la possibilité des naissances des garçons et que l’on nomme ${\text{ϐ}}$ la quantité ${\frac {1.2.3\ldots (p+q)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}},$ la probabilité que sur $p+q$ naissances il y aura $p$ garçons et $q$ filles sera ${\text{ϐ}}x^{p}(1-x)^{q}\,:$ c’est la quantité que nous avons nommée $y$ dans le numéro cité ; la quantité que nous avons nommée $v$ deviendra ainsi ${\frac {x(1-x)}{(p+q)x-p}},$ et la fonction

$\mathrm {UJ} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}\right)$

deviendra

${\frac {{\text{ϐ}}\theta ^{p+1}(1-\theta )^{q+1}}{(p+q)\theta -p}}\left\{1-{\frac {(p+q)\theta ^{2}+p(1-2\theta )}{\left[(p+q)\theta -p\right]^{2}+\ldots }}\right\}.$

Maintenant, la quantité que nous avons nommée $\scriptstyle {\mathrm {U} }$ dans le n^XXXVI est, par le n^o VI, égale à ${\sqrt {-2\mathrm {Y} {\frac {dx^{2}}{d^{2}\mathrm {Y} }}}},\ \mathrm {Y}$ et $d^{2}\mathrm {Y}$ étant ce que deviennent $y$ et $d^{2}y$ lorsque $x=a\,;$ d’ailleurs, $a$ étant la valeur de $x$ qui répond au maximum de $y,$ il est déterminé par l’équation $0={\frac {dy}{ydx}},$ d’où l’on tire $a={\frac {p}{p+q}},$ et par conséquent

$\mathrm {Y} ={\frac {{\text{ϐ}}p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}},\qquad -{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}={\frac {(p+q)^{3}}{pq}}$

La fonction

$\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)$

deviendra donc, en observant qu’elle se réduit à très peu près à son premier terme, lorsque $p$ et $q$ sont de grands nombres,

${\frac {{\text{ϐ}}p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{(p+q)^{p+q+{\frac {1}{2}}}}}\,;$

la formule $(a')$ du numéro cité donnera ainsi pour la probabilité que $x$ ne surpasse pas $\theta$

${\frac {\theta ^{p+1}(1-\theta )^{q+1}(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {2\pi }}\left[p-(p+q)\theta \right]p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}}}\left\{1-{\frac {(p+q)\theta ^{2}+p(1-2\theta )}{\left[p-(p+q)\theta \right]^{2}+\ldots }}\right\}.$