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L’équation $0={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial u'}},$ peut être mise sous cette forme

$0={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial u'}},$

d’où l’on tire

$0={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial u}}$

et

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\partial u'^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\partial u^{2}}}{\frac {du^{2}}{du'^{2}}}=-{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\partial u^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\partial x^{2}}}}{\mathrm {Z} '}}\,;$

on aura donc

$\int \mathrm {Z} du'={\frac {\mathrm {Z} '}{\sqrt {{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\mathrm {Z} '\partial u^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\mathrm {Z} '\partial x^{2}}}}}}\int dte^{-t^{2}}.$

Le numérateur de l’expressiôn de $\mathrm {P}$ sera, par conséquent, à très peu près égal à

${\frac {2{\sqrt {\pi }}\mathrm {Z} '}{\sqrt {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\mathrm {Z} '\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\mathrm {Z} '\partial u^{2}}}}}}\int dte^{-t^{2}}\,;$

déterminons maintenant son dénominateur.

$y'$ étant nul aux deux limites $x'=0$ et $x'=1,$ il est clair que $z$ est nul aux deux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{x}}\,;$ il est pareillement nul aux deux limites $x=0$ et $x=1.$ En nommant donc $\mathrm {U}$ ce que devient $z$ lorsqu’on y substitue pour $u$ et pour $x$ leurs valeurs données par les équations

$0={\frac {\partial z}{\partial u}},\qquad 0={\frac {\partial z}{\partial x}},$

on aura, par le n^o VII,

$\iint zdudx={\frac {2\pi \mathrm {U} }{\sqrt {{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\mathrm {U} \partial u^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\mathrm {U} \partial x^{2}}}}}}\,;$

c’est la valeur très approchée du dénominateur de $\mathrm {P} .$ Il est aisé de voir que $\mathrm {Z'=U} ,$ puisque l’une et l’autre de ces quantités est ce que