Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/333

donnée par l’équation $0={\frac {\partial z}{\partial x}}\,;$ on aura à très peu près, par le n^o VI,

$\int zdx={\frac {{\sqrt {2\pi }}\mathrm {Z} }{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}}}},$

partant

$\iint zdudx={\sqrt {2\pi }}\int {\frac {\mathrm {Z} du}{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}}}}.$

L’intégrale relative à $u$ doit être prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1\,;$ mais, au maximum de la fonction différentielle $yy'dxdx',$ on a

$x=a\qquad {\text{et}}\qquad x'=a'$

et, par conséquent,

$u={\frac {a'}{a}}.$

La valeur de $u,$ correspondante à ce maximum, excède donc très peu l’unité ; ainsi l’on doit, dans ce cas, faire usage de la formule $(c)$ du n^o VI. Soit

$du'={\frac {du}{\sqrt {-{\cfrac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}}}},$

et nommons $\mathrm {Z} '$ ce que devient $\mathrm {Z}$ au point où l’on a

$0={\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial u'}}\,;$

nommons ensuite $\mathrm {S}$ ce que devient $\mathrm {Z}$ lorsqu’on y fait $u=1\,;$ la formule citée donnera, à fort peu près.

$\int \mathrm {\mathrm {Z} } du'={\frac {\mathrm {Z} '\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {-{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Z} '}{\mathrm {Z} '\partial u'^{2}}}}}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,\ \mathrm {T}$ étant donné par l’équation

$\mathrm {T^{2}=\log Z'-\log S} .$