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on aura donc

$-\theta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}={\frac {1}{\alpha ^{\lambda }}}\,;$

ainsi la probabilité que la possibilité $x$ de l’événement simple est comprise entre les limites $a-\theta$ et $a+\theta$ sera, par la formule $(d'),$

$1-{\frac {1}{\theta {\sqrt {-\pi {\cfrac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}}}}}e^{\theta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}}+\ldots \,;$

d’où l’on voit que cette probabilité sera fort grande si $-\theta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}$ est un nombre un peu considérable, tel que $11$ ou $12,$ ce qui donne un moyen très simple de juger de la grandeur de cette probabilité.

XXXVIII.

La possibilité des événements simples peut n’être pas la même à différentes époques ou dans des pays différents : le climat, les productions et mille autres causes physiques ou morales peuvent y produire des différences qu^un grand nombre d’observations rend sensibles ; mais, comme les seules combinaisons du hasard suffisent pour introduire de légères différences dans le résultat des observations, on voit qu’il en faut un très grand nombre pour être assuré que les différences observées, lorsqu’elles sont très petites, sont dues à des causes toujours agissantes. Ce problème, un des plus importants de la théorie des hasards, exige une analyse délicate ; en voici une solution fort simple.

Supposons que l’on ait observé, dans deux lieux différents, deux résultats composés d’un très grand nombre d’événements simples du même genre. Soient

$x$ la possibilité de l’événement simple dans le premier lieu ;

$y$ la fonction de $x$ qui exprime la probabilité du résultat observé dans ce lieu ;

$a$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $y.$