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cas, les deux limites se confondront avec la valeur de à qui répond au maximum de $y.$

Pour avoir la probabilité que la valeur de $x$ est comprise dans ces limites, il faut déterminer l’intégrale $\int dte^{-t^{2}}$ depuis $t=-{\frac {1}{\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}}$ jusqu’à $t={\frac {1}{\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}}.$ Cette intégrale est évidemment le double de l’intégrale $\int dte^{-t^{2}},$ prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ moins le double de cette même intégrale prise depuis $t={\frac {1}{\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}}$ jusqu’à $t=\infty \,;$ or on a, par le n^o IV,

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$

l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty \,;$ on a d’ailleurs, par la formule $(c')$ du numéro précédent,

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}e^{-{\frac {1}{\alpha ^{\lambda }}}}\left(1-{\frac {\alpha ^{\lambda }}{2}}+{\frac {3\alpha ^{2\lambda }}{4}}-\ldots \right)\,;$

l’intégrale $\int dte^{-t^{2}},$ prise depuis $t=-{\frac {1}{\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}}$ jusqu’à $t={\frac {1}{\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}}$ sera donc

${\sqrt {\pi }}-\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}e^{-{\frac {1}{\alpha ^{\lambda }}}}+\ldots .$

En la divisant par ${\sqrt {\pi }},$ on aura la probabilité que $x$ est compris entre les limites $a-\theta$ et $a+\theta '\,;$ l’expression de cette probabilité sera, par conséquent,

$(d')\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1-{\frac {\alpha ^{\frac {\lambda }{2}}}{\sqrt {\pi }}}e^{-{\frac {1}{\alpha ^{\lambda }}}}+\ldots .$

Lorsque ${\frac {1}{\alpha }}$ est un grand nombre, cette formule converge rapidement vers l’unité, principalement à cause du facteur $e^{-{\frac {1}{\alpha ^{\lambda }}}},$ qui devient très petit lorsque $\alpha$ est une très petite fraction ; de là résulte ce théorème :

La probabilité que la possibilité des événements simples est comprise