dans laquelle les logarithmiques sont hyperboliques, et
étant le nombre dont le logarithmique hyperbolique est l’unité. La probabilité que
est égal ou moindre que
sera donc alors donnée par cette formule
![{\displaystyle (b')\quad \qquad \qquad {\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}}-{\frac {e^{-\mathrm {T} ^{2}}\left({\cfrac {d\scriptstyle {\mathrm {U} }^{2}}{dx}}+\mathrm {T} {\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)}{{\sqrt {2\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc30feb9b7842c651301bf9950b063ae4693fa4)
On pourra, dans tous les cas, déterminer au moyen des formules
et
la probabilité que
est égal ou moindre que
étant plus petit que
Si
surpasse
on fera
et, en nommant
ce que devient
on cherchera la probabilité que
est égal ou moindre que
par la formule
dans laquelle l’intégrale du numérateur est prise depuis
jusqu’à
celle du dénominateur étant prise depuis
jusqu’à
Les formules
et
donneront cette probabilité, en changeant
en
en la retranchant ensuite de l’unité, on aura la probabilité que
est égal ou moindre que
L’intégrale
se rencontre fréquemment dans cette analyse, et, par cette raison, il serait très utile de former une Table de ses valeurs, depuis
jusqu’à
Lorsque cette intégrale est prise depuis
jusqu’à
étant égal ou plus grand que
on pourra faire usage de la formule
![{\displaystyle (c')\qquad \int dte^{-t^{2}}={\frac {e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} }}\left(1-\mathrm {{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{4T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{8T^{6}}}} +\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bf972bb297f2e8061455a476bcb04d766af99d)
qui donnera une valeur alternativement plus grande et plus petite que la véritable.
XXXVIII.
Déterminons maintenant la probabilité que la valeur de
est comprise entre les deux limites
et
qui embrassent la valeur