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dans laquelle les logarithmiques sont hyperboliques, et $e$ étant le nombre dont le logarithmique hyperbolique est l’unité. La probabilité que $x$ est égal ou moindre que $\theta$ sera donc alors donnée par cette formule

$(b')\quad \qquad \qquad {\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}}-{\frac {e^{-\mathrm {T} ^{2}}\left({\cfrac {d\scriptstyle {\mathrm {U} }^{2}}{dx}}+\mathrm {T} {\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)}{{\sqrt {2\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)}}.$

On pourra, dans tous les cas, déterminer au moyen des formules $(a')$ et $(b')$ la probabilité que $x$ est égal ou moindre que $\theta ,\ \theta$ étant plus petit que $a.$

Si $\theta$ surpasse $a,$ on fera $1-\theta =\theta ',\ 1-x=x'$ et, en nommant $y'$ ce que devient $y,$ on cherchera la probabilité que $x'$ est égal ou moindre que $\theta '$ par la formule ${\frac {\int y'dx'}{\int y'dx'}},$ dans laquelle l’intégrale du numérateur est prise depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=\theta ',$ celle du dénominateur étant prise depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1.$ Les formules $(a')$ et $(b')$ donneront cette probabilité, en changeant $y,u,v,\theta$ en $y',u',v',\theta '\,;$ en la retranchant ensuite de l’unité, on aura la probabilité que $x$ est égal ou moindre que $\theta .$

L’intégrale $\int dte^{-t^{2}}$ se rencontre fréquemment dans cette analyse, et, par cette raison, il serait très utile de former une Table de ses valeurs, depuis $t=\infty ,$ jusqu’à $t=0.$ Lorsque cette intégrale est prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,\ \mathrm {T}$ étant égal ou plus grand que $3,$ on pourra faire usage de la formule

$(c')\qquad \int dte^{-t^{2}}={\frac {e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} }}\left(1-\mathrm {{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{4T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{8T^{6}}}} +\ldots \right),$

qui donnera une valeur alternativement plus grande et plus petite que la véritable.

XXXVIII.

Déterminons maintenant la probabilité que la valeur de $x$ est comprise entre les deux limites $a-\theta$ et $a+\theta ',$ qui embrassent la valeur