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depuis $x=0$ jusqu’à $x=\theta ,$

$\int ydx=-\mathrm {UJ} \left[1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right].$

Si l’on nomme ensuite $\mathrm {Y}$ le maximum de $y$ ou ce que devient cette fonction lorsqu’on y change $x$ en $a,$ que l’on fasse

${\frac {x-a}{\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}}}=u,$

ces logarithmes étant hyperboliques, et que l’on désigne par $\scriptstyle {\mathrm {U} },{\cfrac {d\scriptstyle {\mathrm {U} }^{2}}{dx}},{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ ce que deviennent $u,{\cfrac {du^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}u^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ la formule $(d)$ du même numéro donnera pour l’expression en série de l’intégrale $\int ydx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$

$\int ydx=\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{1.2.3.4dx^{4}}}+\ldots \right),$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. La probabilité que $x$ est égal ou moindre que $\theta$ sera donc

$(a')\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {-\mathrm {UJ} \left[1+{\cfrac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\cfrac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right]}{\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{dx^{4}}}+\ldots \right)}}.$

Le numérateur de cette série forme une suite divergente si $\theta$ est très voisin de $a\,;$ dans ce cas, on aura l’intégrale $\int ydx$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\theta$ par la formule $(c)$ du n^o VI, et l’on trouvera pour l’expression en série de cette intégrale

$\int ydx=\mathrm {Y} \left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{dx^{4}}}+\ldots \right)\int dte^{-t^{2}}$

$-{\frac {\mathrm {Y} e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2}}\left({\frac {d\scriptstyle {\mathrm {U} }^{2}}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right),$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $x=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,\ \mathrm {T}$ étant donné par l’équation

$\mathrm {T^{2}=\log Y-\log J} ,$