depuis
jusqu’à
![{\displaystyle \int ydx=-\mathrm {UJ} \left[1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633fac344ff0274aa8b7417f094948b763e0f339)
Si l’on nomme ensuite
le maximum de
ou ce que devient cette fonction lorsqu’on y change
en
que l’on fasse
![{\displaystyle {\frac {x-a}{\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b064152d6d2510d5f2d916d8cd17598cd02fe60e)
ces logarithmes étant hyperboliques, et que l’on désigne par
ce que deviennent
lorsqu’on y change
en
la formule
du même numéro donnera pour l’expression en série de l’intégrale
prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0954524da2f040331897141e1bfa00761a40126)
![{\displaystyle \int ydx=\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{1.2.3.4dx^{4}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa87f0627b19ecfc5461ede64702001176e7d04b)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. La probabilité que
est égal ou moindre que
sera donc
![{\displaystyle (a')\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {-\mathrm {UJ} \left[1+{\cfrac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\cfrac {d(\mathrm {U} d\mathrm {U} )}{d\theta ^{2}}}+\ldots \right]}{\mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{dx^{4}}}+\ldots \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7620a3d36eac358f24148b4c229ea6fc09ce976)
Le numérateur de cette série forme une suite divergente si
est très voisin de
dans ce cas, on aura l’intégrale
depuis
jusqu’à
par la formule
du no VI, et l’on trouvera pour l’expression en série de cette intégrale
![{\displaystyle \int ydx=\mathrm {Y} \left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{5}}{dx^{4}}}+\ldots \right)\int dte^{-t^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0705dd97ea37206608ab9c440c6b3ee7ea4ec14c)
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {Y} e^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2}}\left({\frac {d\scriptstyle {\mathrm {U} }^{2}}{dx}}+\mathrm {T} {\frac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b760c028f95185b449a537e58aecfc7247d2677)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
étant donné par l’équation
![{\displaystyle \mathrm {T^{2}=\log Y-\log J} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b2b73fa0fafad10521d1716221e5d59415a25a)