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$\mathrm {E} +e^{(r)},$ on aura, par le numéro précédent,

$p^{(r)}={\frac {v}{\mathrm {V} }}.$

Il faut maintenant déterminer $v$ et $\mathrm {V} \,;$ pour cela nous observerons que la probabilité a priori de l’existence de la cause $e^{(r)}$ est ${\frac {1}{n}}\,;$ en nommant donc $a,a^{(1)},a^{(2)},\ldots ,a^{(n-1)}$ les probabilités respectives que, les causes $e,e^{(1)},e^{(2)},\ldots$ étant supposées exister, l’événement $\mathrm {E}$ aura lieu, ${\frac {a^{(r)}}{n}}$ sera la probabilité de $\mathrm {E} +e^{(r)}$ déterminée a priori : c’est la quantité que nous avons nommée $v.$

La somme de toutes ces probabilités relatives à chacune de $n$ causes sera évidemment la probabilité de $\mathrm {E} ,$ puisque cet événement ne peut arriver que par une de ces causes ; on aura donc

$\mathrm {V} ={\frac {1}{n}}\left(a+a^{(1)}+\ldots +a^{(n-1)}\right),$

partant

$p^{(r)}={\frac {a^{(r)}}{a+a^{(1)}+a^{(2)}+\ldots +a^{(n-1)}}},$

c’est-à-dire que l’on aura la probabilité d’une cause, prise de l’événement, en divisant la probabilité de l’événement, prise de cette cause, par la somme de toutes les probabilités semblables.

Supposons, par exemple, qu’une urne renferme trois boules qui ne puissent être que blanches ou noires ; qu’après en avoir tiré une boule on la remette dans l’urne pour procéder à un nouveau tirage et qu’après $m$ tirages on n’ait amené que des boules blanches : il est visible que l’on ne peut faire a priori que quatre hypothèses, car les boules seront toutes blanches ou toutes noires, ou deux seront blanches et une noire, ou deux seront noires et une blanche. Si l’on considère ces hypothèses comme autant de causes différentes $e,e^{(1)},e^{(2)},e^{(3)}$ de l’événement observé, les probabilités respectives de cet événement, prises de ces causes, seront $1,\left({\frac {2}{3}}\right)^{m},\left({\frac {1}{3}}\right)^{m},0\,;$ ce sont les quantités que nous avons nommées $a,a^{(1)},a^{(2)},a^{(3)}.$ Les probabilités i