étant égal au coefficient de
dans le développement de la fraction
on multipliera le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
![{\displaystyle (a-z)\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+\ldots +p\theta +q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f35fb8472c0a33029f3654b98be54be0c5f2e7)
et, en substituant dans le numérateur au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {b\theta ^{n-1}\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)+c\theta ^{n-2}\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{t^{2}}}\right)+e\theta ^{n-3}\left(1-{\frac {\theta ^{3}}{t^{3}}}\right)+\ldots +q\left(1-{\frac {\theta ^{n}}{t^{n}}}\right)}{\left(1-{\frac {\theta }{t}}\right)\left(a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90650f86b900bbc07230b35a663233df6d272c5f)
Le numérateur de cette fraction est divisible par
on peut donc, en faisant la division, la mettre sous cette forme
(A)
|
|
|
La recherche du coefficient de
dans le développement de cette fraction se réduit ainsi à déterminer, quel que soit
le coefficient de
dans le développement de la fraction
![{\displaystyle {\frac {1}{a\theta ^{n}+b\theta ^{n-1}+c\theta ^{n-2}+e\theta ^{n-3}+\ldots +p\theta +q-z\theta ^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea75cc73e9c3ec6527339730ed08a37056bb2955)
Pour cela, considérons généralement la fraction
et
étant des fonctions rationnelles et entières de
la première étant d’un ordre inférieur à celui de la seconde. Supposons que
ait un facteur ![{\displaystyle \theta -\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5b75bc89891fdf0a2b12ecfeca2ca2f4dc1d3d)