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$u=0$ jusqu’à $u=\infty \,;$ on aura donc

$\mathrm {S} =(-1)^{r-1}\times {\frac {\begin{aligned}&\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dudxdx'\ldots e^{-px-p'x'-\ldots -(s+r)(x+x'+\ldots )}\\&\times \left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n}{\cfrac {(1-u)^{r-1}}{\left[1-e^{-x-x'-\ldots }(1-u)\right]^{n+1}}}\end{aligned}}{\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dudxdx'\ldots e^{-x-x'-\ldots }{\cfrac {u^{r-1}}{(1+u)^{n+1}}}}}$

toutes les intégrales étant prises depuis les valeurs nulles des variables jusqu’à leurs valeurs infinies. Il ne s’agit plus maintenant que de réduire, par la méthode du n^o VII, le numérateur et le dénominateur de cette expression en séries convergentes. Les applications que nous ferons, dans l’article suivant, de ces recherches, à divers problèmes sur les hasards, répandront un nouveau jour sur cette analyse.