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XXXI.

La différence finie $n$^ième de ${\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}$ est égale au produit de $(-1)^{n}$ par

${\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}-{\frac {1}{(s+p+1)^{i}(s+p'+1)^{i'}\ldots }}$

$+{\frac {1}{1.2(s+p+2)^{i}(s+p'+2)^{i'}\ldots }}-\ldots \,;$

on a souvent besoin, dans l’analyse des hasards, de ne considérer que la somme d’un nombre quelconque des premiers termes de cette fonction ; voyons donc comment on peut l’obtenir en série convergente.

Nommons $\mathrm {S}$ la somme des $r$ premiers termes de la fonction précédente ; il est facile de s’assurer par le numéro précédent que, si l’on nomme $\mathrm {Q}$ la somme des $r$ premiers termes du binôme $\left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n},$ on aura

$\mathrm {S} ={\frac {\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-px-p'x'-\ldots -s(x+x'+\ldots )}\mathrm {Q} }{\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-x-x'-\ldots }}}.$

On a, parle n^o XXI,

$\mathrm {Q} ={\frac {\left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n}\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $u=-e^{-x-x'-\ldots }$ jusqu’à $u=\infty ,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty ,$ en sorte que l’on pourra mettre cette expression de $\mathrm {Q}$ sous la forme suivante

$\mathrm {Q} =(-1)^{r-1}{\frac {\left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n}e^{-rx-rx'-\ldots }\int {\cfrac {(1-u)^{r-1}du}{\left[1-e^{-x-x'-\ldots }(1-u)\right]^{n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis