XXXI.
La différence finie
ième de
est égale au produit de
par
![{\displaystyle {\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}-{\frac {1}{(s+p+1)^{i}(s+p'+1)^{i'}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff60dbf52bf9e6f5cacc4262b99199c2be63c5f3)
![{\displaystyle +{\frac {1}{1.2(s+p+2)^{i}(s+p'+2)^{i'}\ldots }}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9c6a5f4e7a3a57bc565506475dfebf92f2ce70)
on a souvent besoin, dans l’analyse des hasards, de ne considérer que la somme d’un nombre quelconque des premiers termes de cette fonction ; voyons donc comment on peut l’obtenir en série convergente.
Nommons
la somme des
premiers termes de la fonction précédente ; il est facile de s’assurer par le numéro précédent que, si l’on nomme
la somme des
premiers termes du binôme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-px-p'x'-\ldots -s(x+x'+\ldots )}\mathrm {Q} }{\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-x-x'-\ldots }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666fea741869a13a54fd9b0b37f8585b98a77361)
On a, parle no XXI,
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {\left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n}\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1f1b331b203629ef090e1eae3d90717c24984b)
l’intégrale du numérateur étant prise depuis
jusqu’à
et celle du dénominateur étant prise depuis
jusqu’à
en sorte que l’on pourra mettre cette expression de
sous la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {Q} =(-1)^{r-1}{\frac {\left(1-e^{-x-x'-\ldots }\right)^{n}e^{-rx-rx'-\ldots }\int {\cfrac {(1-u)^{r-1}du}{\left[1-e^{-x-x'-\ldots }(1-u)\right]^{n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{r-1}du}{(1+u)^{n+1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0a7e209b2ded783c1cbe5b57f793bc60a1036a)
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis