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Il suit de là que

${\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}={\frac {\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-px-p'x'-\ldots -s(x+x'+\ldots )}}{\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-x-x'-\ldots }}},$

les intégrales relatives à $x,x',\ldots$ étant prises depuis les valeurs nulles de ces variables jusqu’à leurs valeurs infinies ; on aura donc

$\Delta ^{n}{\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}$

$={\frac {\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-px-p'x'-\ldots -s(x+x'+\ldots )}\left(e^{-x-x'-\ldots }-1\right)^{n}}{\int x^{i-1}x'^{i'-1}\ldots dxdx'\ldots e^{-x-x'-\ldots }}}.$

On réduira facilement en séries convergentes le numérateur et le dénominateur de cette expression par la méthode du n^o VII ; et, si l’on change dans ces séries les signes de $i,i',\ldots ,$ on aura les valeurs approchées de $\Delta ^{n}(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots ,$ sur lesquelles on doit faire des remarques analogues à celles que nous avons faites dans les numéros précédents sur la valeur approchée de $\Delta ^{n}s^{i}.$

Si l’on suppose $n,i,i',\ldots$ de très grands nombres, on trouvera facilement, par le n^o VII, que l’on a à très peu près

$\Delta ^{n}(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots$

$={\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}\left({\cfrac {i'}{a'}}\right)^{i'+1}\ldots e^{(s+p)a+(s+p')a'+\ldots -l-l'-\ldots }\left(e^{a+a'+\ldots }-1\right)^{n}}{\sqrt {\left[{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\cfrac {nie^{a+a'+\ldots }}{\left(e^{a+a'+\ldots }-1\right)^{2}}}\right]\left[{\cfrac {i'(i'+1)}{'a^{2}}}-{\cfrac {ni'e^{a+a'+\ldots }}{\left(e^{a+a'+\ldots }-1\right)^{2}}}\right]\ldots }}},$

$a,a',\ldots$ étant déterminés par les équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {i+1}{a}}\ -s-p\ -{\frac {ne^{a+a'+\ldots }}{e^{a+a'+\ldots }-1}},\\0=&{\frac {i'+1}{a'}}-s-p'-{\frac {ne^{a+a'+\ldots }}{e^{a+a'+\ldots }-1}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$