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Supposons généralement

$(a)\quad \qquad \qquad z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+{\frac {e}{t^{3}}}+\ldots +{\frac {p}{t^{n-1}}}+{\frac {q}{t^{n}}},$

on aura

${\frac {1}{t^{n}}}={\frac {z-a}{q}}-{\frac {b}{qt}}-{\frac {c}{qt^{2}}}-\ldots -{\frac {p}{qt^{n-1}}},$

ce qui donne

${\frac {1}{t^{n+1}}}={\frac {z-a}{qt}}-{\frac {b}{qt^{2}}}-{\frac {c}{qt^{3}}}-\ldots -{\frac {p}{qt^{n}}}\,;$

en éliminant ${\frac {1}{t^{n}}}$ du second membre de cette équation, au moyen de la proposée $(a),$ on aura

${\frac {1}{t^{n+1}}}=-{\frac {p(z-a)}{q^{2}}}+{\frac {pb+q(z-a)}{q^{2}t}}+\ldots .$

Cette expression de ${\frac {1}{t^{n+1}}}$ ne renferme que des puissances de ${\frac {1}{t}}$ d’un ordre inférieur à $n,$ et, en continuant d’éliminer ainsi la puissance ${\frac {1}{t^{n}}},$ à mesure qu’elle se présente, il est clair que l’on arrivera à une expression de ${\frac {1}{t^{i}}},$ qui ne renfermera que des puissances ${\frac {1}{t}}$ moindres que $n,$ et qui, par conséquent, aura cette forme

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)}+{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Z} ^{(2)}+{\frac {1}{t^{3}}}\mathrm {Z} ^{(3)}+\ldots +{\frac {1}{t^{n}-1}}\mathrm {Z} ^{(n-1)},$

$\mathrm {Z,Z^{(1)},Z^{(2)},\ldots ,Z^{(n-1)}}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $z,$ dont la première ne surpasse pas le degré ${\frac {i}{n}},$ la deuxième ne surpasse pas le degré ${\frac {i}{n}}-1,$ la troisième le degré ${\frac {i}{n}}-2,$ et ainsi du reste.

Cette manière de déterminer ${\frac {1}{t^{i}}}$ est très pénible lorsque $i$ est un peu considérable ; elle conduirait d’ailleurs difficilement à l’expression générale de cette quantité ; on pourra y parvenir directement par la méthode suivante.