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d’où l’on tire à très peu près, dans la supposition de $a$ peu considérable,

$a={\frac {i+1-n}{s+{\cfrac {n}{2}}}}.$

Ainsi $a$ sera très petit toutes les fois que la différence $i-n$ sera peu considérable relativement à $s+{\frac {n}{2}}\,;$ dans ce cas, on déterminera $\Delta ^{n}s^{i}$ par la méthode suivante.

Reprenons l’équation

$\Delta ^{n}s^{i}={\frac {\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}}{\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-x}}},$

dans laquelle se change la formule $(\mu )$ du n^o XXVI lorsqu’on y fait $i$ négatif et égal à $-i\,;$ on peut mettre le facteur $\left(e^{-x}-1\right)^{n}$ sous cette forme

${\begin{aligned}e^{-{\frac {nx}{2}}}\left(e^{-{\frac {x}{2}}}-e^{+{\frac {x}{2}}}\right)^{n}=&(-1)^{n}e^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left(1+{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}{\frac {x^{4}}{2^{4}}}+\ldots \right)^{n}\\=&(-1)^{n}e^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left[1+{\frac {nx^{2}}{24}}+{\frac {n(5n-2)}{15.16.24}}x^{4}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

on aura donc

$\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}=(-1)^{n}\int {\frac {dx}{x^{i+1-n}}}e^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}\left(1+{\frac {nx^{2}}{24}}+\ldots \right).$

Si l’on fait $\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x=x',$ on aura généralement

$\int {\frac {dx}{x^{r}}}e^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}=\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{r-1}\int {\frac {dx'e^{-x'}}{x'^{r}}},$

et par le n^o XX on a

$\int {\frac {dx'e^{-x'}}{x'^{r}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{\int x'^{r-1}dx'e^{-x'}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{(r-1)(r-2)(r-3)\ldots }}\,;$