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Supposons $i+1$ assez grand, relativement à $n+s,$ pour que $e^{\frac {i+1}{n+s}}$ soit du même ordre que $i\,;$ l’équation

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}}$

donnera à très peu près

$a={\frac {i+1}{n+s}}\left(1-{\frac {n}{n+s}}e^{\frac {-i}{n+s}}\right),$

et si, pour abréger, on fait $e^{\frac {-i}{n+s}}=q,$ on trouvera, en ne considérant que le premier terme de l’expression de $\Delta ^{n}s^{i}$ et en faisant toutes les réductions convenables, cette expression fort simple

$\Delta ^{n}s^{i}=(s+n)^{i}e^{-nq},$

en sorte que, si $i$ est infini relativement à $n+s,$ ce qui donne $q=0,$ on aura

$\Delta ^{n}s^{i}=(s+n)^{i}\,;$

il est facile d’ailleurs de s’en assurer a priori en considérant que la quantité $(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}+\ldots$ se réduit alors à son premier terme.

XXVIII.

La série $(\mu ')$ cesse d’être convergente lorsque $a$ est un très petit nombre de l’ordre ${\frac {1}{n}},$ car alors il est visible que, les quantités $l,l',l'',\ldots$ formant une progression croissante, chaque terme de la série est du même ordre que celui qui le précède. Pour déterminer dans quel cas $a$ est très petit, reprenons l’équation

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}}\,;$

on peut la transformer dans la suivante

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {n}{a}}\left(1+{\frac {a}{2}}+\ldots \right),$