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on aura

$\Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {a}{i}}\right)^{i-1}e^{i-sa}\left(e^{-a}-1\right)^{n}}{\sqrt {2hi}}}$

$\times \left(1+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}+\ldots -{\frac {1}{12i}}+\ldots \right).$

XXVII.

Pour avoir la différence finie $n$^ième de la puissance positive $s^{i},$ il suffit (n^o XVI ) de changer dans cette équation $i$ dans $-i,$ et l’on aura

$(\mu ')\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{n}s^{i}=(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}\\&+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}(s+n-3)^{i}+\ldots \\&={\frac {\left({\frac {i}{a}}\right)^{i+1}e^{sa-i}\left(e^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\frac {i(i+1)}{a^{2}}}-ni{\frac {e^{a}}{\left(e^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15l'^{2}-12ll''}{16l^{3}}}+\ldots +{\frac {1}{12i}}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

$a,l,l',l'',\ldots$ étant donnés par les équations suivantes :

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {ne^{a}}{e^{a}-1}},$

${\begin{aligned}l\ \,=&-{\frac {i+1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2},\\l'\ =&-{\frac {i+1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3},\\l''=&-{\frac {i+1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {e^{a}}{e^{a}-1}}\right)^{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On arriverait au même résultat en résolvant directement, par la méthode du n^o XV, l’équation aux différences finies et infiniment petites

$0=\Delta ^{n}\left(iy_{s}-s{\frac {dy_{s}}{ds}}\right)$

ou celle-ci

$0=(s+n)\Delta {\frac {dy'_{s}}{ds}}+n{\frac {dy'_{s}}{ds}}-i\Delta y'_{s},$

dans laquelle $y'_{s}=\Delta ^{n-1}y_{s}.$