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différence finie $n$^ième est $\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx(x-1)^{n}.$ On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx(\log x)^{n}+\ldots ,\\\Delta ^{n}y_{s}=&\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx(x-1)^{n}+\ldots ,\end{aligned}}$

le signe $+$ étant relatif aux autres termes de la forme $\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx$ qui peuvent entrer dans l’expression de $y_{s},$. Si l’on fait usage de la forme $\mathrm {A} \int e^{-sx}\varphi dx,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&(-1)^{n}\mathrm {A} \int x^{n}\varphi dxe^{-sx}+\ldots ,\\\Delta ^{n}y_{s}=&\mathrm {A} \int \varphi dxe^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}+\ldots .\end{aligned}}$

Pour avoir les intégrales $n$^ièmes, soit finies, soit infiniment petites de $y_{s},$ il suffira de faire $n$ négatif dans ces expressions ; on peut observer qu’elles sont généralement vraies quel que soit $n,$ en le supposant même fractionnaire, en sorte qu’elles offrent un moyen très simple d’interpoler les différences et les intégrales des fonctions.

Comme on est principalement conduit dans l’analyse des hasards à des expressions qui ne sont que les différences finies très élevées des fonctions ou une partie quelconque de ces différences, nous allons y appliquer la méthode précédente et déterminer leur valeur en séries convergentes.

XXVI.

Considérons d’abord la fonction ${\frac {1}{s^{i}}}\,;$ en la désignant par $y_{s},$ elle sera déterminée par l’équation aux différences infiniment petites

$0=s{\frac {dy_{s}}{ds}}+iy_{s}.$

Si l’on suppose dans cette équation

$y_{s}=\int e^{-sx}\varphi dx\qquad {\text{et}}\qquad e^{-sx}=\delta y,$

elle deviendra

$0=\int \varphi dx\left(i\delta y+x{\frac {d\delta y}{dx}}\right),$