Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/300

d’où il est facile de conclure

$\int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right].$

En changeant $z$ dans $-z,$ on aura

$\int d\varpi (\cos \varpi -z)^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right],$

partant

${\begin{aligned}y_{s}=&\quad {\frac {1}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right]\\&+{\frac {(-1)^{s}}{(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

En multipliant cette valeur par le produit $1.2.3\ldots s,$ qui, par le n^o XIX, est égal à

$s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {\alpha }{12}}+\ldots \right),$

on aura la valeur en série de ${\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}},$ et l’on trouvera que, $s$ étant fort grand, cette valeur se réduit à très peu près à ${\frac {s^{s}e^{-s}}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}}}.$ Il est remarquable que l’expression que nous avons donnée ci-dessus de cette différence, et qui devient très composée lorsque $s$ est un grand nombre, se réduise alors à une valeur approchée aussi simple.

XXV.

Voici maintenant une méthode générale pour avoir en séries convergentes les différences et les intégrales fort élevées, soit finies, soit infiniment petites d’une fonction $y_{s}.$ On commencera par réduire cette fonction à des termes de l’une ou de l’autre de ces deux formes $\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx,\ \mathrm {A} \int e^{-sx}\varphi dx\,;$ on observera ensuite que la différence infiniment petite $n$^ième de $\mathrm {A} \int x^{s}\varphi dx$ est $\mathrm {A} \int x^{s}ds^{n}\varphi dx(\log x)^{n},$ et que sa