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intitulé Methodus differentialis, pour interpoler entre un nombre impair de quantités équidistantes ; dans ce cas, $y_{x}$ désigne la quantité du milieu et $i$ est la distance de cette quantité à celle que l’on cherche, qui, par conséquent, est $y_{x+i},$ l’unité étant supposée l’intervalle commun des quantités données.

En différentiant aux différences finies la formule précédente par rapport à $i,$ on aura

${\begin{aligned}y_{x+i+1}-y_{x+i}=&{\frac {1}{2}}\Delta \left(y_{x}+y_{x-1}\right)+{\frac {i(i+1)}{1.2}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}\left(y_{x-1}+y_{x-2}\right)\\&+{\frac {(i-1)i(i+1)(i+2)}{1.2.3.4}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{3}\left(y_{x-2}+y_{x-3}\right)+\ldots \\&+(2i+1){\frac {1}{2}}\Delta ^{2}y_{x-1}+{\frac {(2i+1)(i+1)i}{1.2.3}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{4}y_{x-2}\\&+{\frac {(2i+1)(i+2)(i+1)i(i-1)}{1.2.3.4.5}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{5}y_{x-3}+\ldots .\end{aligned}}$

Soient $y_{x+1}-y_{x}=y'_{x}$ et $i={\frac {s-1}{2}},$ on aura

${\begin{aligned}y_{x+{\frac {s-1}{2}}}=&{\frac {1}{2}}\left(y'_{x}+y'_{x-1}\right)+{\frac {s^{2}-1}{2.4}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}\left(y'_{x-1}+y'_{x-2}\right)\\&+{\frac {\left(s^{2}-1\right)\left(s^{2}-9\right)}{2.4.6.8}}{\frac {1}{2}}\Delta ^{4}\left(y'_{x-2}+y'_{x-3}\right)+\ldots \\&+{\frac {s}{2}}\Delta y'_{x-1}+{\frac {s\left(s^{2}-1\right)}{2.4.6}}\Delta ^{3}y'_{x-2}\\&+{\frac {s\left(s^{2}-1\right)\left(s^{2}-9\right)}{2.4.6.8.10}}\Delta ^{5}y_{x-3}+\ldots .\end{aligned}}$

Cette formule revient à celle que Newton a donnée dans l’opuscule cité, pour interpoler entre un nombre pair de quantités équidistantes ; $y'_{x}$ exprime la seconde des deux quantités moyennes, et ${\frac {s-1}{2}}$ exprime sa distance à celle que l’on cherche et qui, par conséquent, est $y'_{x+{\frac {s-1}{2}}},$ l’unité représentant l’intervalle commun des quantités données.