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$x=0$ jusqu’à $x$ successivement égal aux différentes racines de l’équation

$0=a+b\left(z+{\frac {1}{x}}\right)+c\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}+\ldots .$

On aura facilement ces intégrales en séries convergentes par la méthode de l’article I.

Déterminons, par cette méthode, la différence $(s+1)$^ième de l’angle dont $z$ est le sinus ; si l’on nomme $\theta$ cet angle, on aura ${\frac {d\theta }{dz}}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}},$ partant

${\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}={\frac {d^{s}\left(1-z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}{dz^{s}}}\,;$

en développant cette différence, on a

${\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}=$

${\begin{aligned}{\frac {1.2.3\ldots s}{\left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}&\left[z^{s}+{\frac {1}{2}}{\frac {s(s-1)}{1.2}}z^{s-2}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)}{1.2.3.4}}z^{s-4}\right.\\&\qquad +{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)(s-5)}{1.2.3.4.5.6}}z^{s-6}\\&\qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

La loi de cette expression est facile à saisir ; mais le calcul en serait impraticable si $s$ était un grand nombre tel que dix mille. Pour avoir, dans ce cas, sa valeur par une suite très convergente, nommons $y_{s},$ le coefficient de $u^{s}$ dans le développement de la fonction $\left[1-(z+u)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;$ on aura

${\frac {d^{s}\left(1-z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}{dz^{s}}}=1.2.3\ldots sy_{s}\,;$

on a d’ailleurs, par le numéro précédent,

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}+\mathrm {A} '\int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},$

la première intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à l’une des valeurs de $x$ qui rendent nulle la fonction $\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},$ et la seconde