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en prenant les différences logarithmiques des deux membres de l’équation

$\left(a+bu+cu^{2}+hu^{3}+\ldots \right)^{\mu }=y_{0}+y_{1}u+y_{2}u^{2}+\ldots +y_{s}u^{s}+\ldots ,$

on aura

${\frac {\mu \left(b+2cu+3hu^{2}+\ldots \right)}{a+bu+cu^{2}+hu^{3}+\ldots }}={\frac {y_{1}+2y_{2}u+\ldots +sy_{s}u^{s-1}+\ldots }{y_{0}+y_{1}u+y_{2}u^{2}+\ldots +y_{s}u^{s}+\ldots }}.$

Si l’on délivre cette équation de fractions et que l’on égale à zéro les coefficients des puissances semblables de $u,$ on aura l’équation générale

$0=asy_{s}+b(s-1-\mu )y_{s-1}+c(s-2-2\mu )y_{s-2}+\ldots \,;$

si l’on y suppose

$y_{s}=\int x^{s-1}\varphi dx$

et que l’on désigne $x^{s-1}$ par $\delta y,$ on aura

$0=\int \varphi dx\left[a-{\frac {\mu b}{x}}-(2\mu +1){\frac {c}{x^{2}}}-\ldots +{\frac {d\delta y}{dx}}\left(ax+b+{\frac {c}{x}}+\ldots \right)\right],$

d’où l’on tire les deux équations

$0=\varphi dx\left[a-{\frac {\mu b}{x}}-(2\mu +1){\frac {c}{x^{2}}}-\ldots \right]-d\left[\varphi \left(ax+b+{\frac {c}{x}}+\ldots \right)\right],$

$0=x^{s}\varphi \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right).$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+{\frac {h}{x^{3}}}+\ldots \right)^{\mu },$

en sorte que l’on aura $\varphi$ en changeant, dans la fonction proposée, $u$ dans ${\frac {1}{x}},$ et en la multipliant par une constante arbitraire $\mathrm {A} ,$ ce qui est généralement vrai, quelle que soit cette fonction.

La seconde équation deviendra

$0=x^{s}\left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+{\frac {h}{x^{3}}}+\ldots \right)^{\mu +1}\,;$