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polynôme élevé à cette puissance, on aura à très peu prés, en supposant $n$ plus grand que l’unité,

$y_{s}={\frac {(2n)^{2s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {(2n+1)(n+1)2s\pi }}}\,;$

le rapport de ce terme à la somme de tous les termes sera conséquemment à très peu près égal à

${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {(2n+1)(n+1)2s\pi }}}.$

Si le polynôme est composé d’un nombre de termes impair et égal à $2n+1,$ en nommant $s$ la puissance à laquelle il est élevé, et $y_{s}$ son terme moyen, on aura à très peu près

$y_{s}={\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}\,;$

ainsi le rapport de ce terme à la somme de tous les termes du polynôme est, dans ce cas, à très peu près égal à ${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}.$

XXIV.

Proposons-nous maintenant de déterminer par approximation les termes fort éloignés du développement d’une fonction quelconque de $u.$ En représentant cette fonction développée par la série suivante

$y_{0}+y_{1}u+y_{2}u^{2}+y_{3}u^{3}+\ldots +y_{s}u^{s}+y_{s+1}u^{s+1}+\ldots ,$

on cherchera la loi qui existe entre les coefficients $y_{s},y_{s-1},y_{s-2},\ldots ,$ et, si cette loi peut être exprimée par une équation linéaire aux différences finies ou infiniment petites, dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de $s,$ on aura, par l’article II, la valeur de $y_{s}$ en série très convergente lorsque $s$ sera un grand nombre.

Supposons, par exemple, que la fonction proposée soit

$\left(a+bu+cu^{2}+hu^{3}+\ldots \right)^{\mu }\,;$