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et, en supposant $\alpha ={\frac {1}{s}},$ on aura

$3-\varpi ^{2}+{\frac {\varpi ^{4}}{12}}-\ldots =3-3\alpha t^{2}+{\frac {3\alpha ^{2}t^{4}}{2}}-\ldots ,$

d’où l’on tire, par le retour des suites,

$\varpi =\alpha ^{\frac {1}{2}}t{\sqrt {3}}\left(1-{\frac {\alpha t^{2}}{8}}+\ldots \right),$

partant

$\int d\varpi (2\cos \varpi +1)^{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}3^{s+{\frac {1}{2}}}\int dte^{-t^{2}}\left(1-{\frac {3}{8}}t^{2}+\ldots \right).$

L’intégrale relative à $t$ devant être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ on aura

$\int d\varpi (2\cos \varpi +1)^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}3^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}{2}}\left(1-{\frac {3\alpha }{16}}+\ldots \right)\,;$

on trouvera de la même manière

$\int d\varpi (2\cos \varpi -1)^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}{2}}\left(1-{\frac {5\alpha }{16}}+\ldots \right).$

On aura donc

$y_{s}={\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}}{2{\sqrt {s\pi }}}}\left(1-{\frac {3\alpha }{16}}+\ldots \right)+{\frac {(-1)^{s}}{2{\sqrt {s\pi }}}}\left(1-{\frac {5\alpha }{16}}+\ldots \right)\,;$

$s$ étant un très grand nombre, cette quantité se réduit à très peu près à ${\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}}{2{\sqrt {s\pi }}}}\,;$ le rapport du terme moyen du trinôme $(1+1+1)^{s}$ à la somme de tous les termes est donc alors à très peu près égal à ${\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {s\pi }}}}.$

On pourra déterminer de la même manière le terme moyen du polynôme $1+1+1+1+\ldots ,$ élevé à une très grande puissance ; nous nous contenterons de présenter ici le premier terme de sa valeur en série, auquel il se réduit lorsque l’exposant de la puissance est infini.

Si le polynôme est composé d’un nombre de termes pair et égal à $2n,$ il n’aura de terme moyen qu’au tant que la puissance à laquelle il est élevé sera paire ; soit $2s$ cette puissance et $y_{s}$ le terme moyen du