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le double de cette même intégrale, prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi -90^{\circ },$ ce qui donne

$y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int d\varpi \cos ^{2s}\varpi ,$

cette dernière intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =90^{\circ }\,;$ si l’on y suppose $\sin \varpi =u,$ on aura

$y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}},$

l’intégrale étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le numéro précédent.

Cette méthode a l’avantage de s’étendre à la détermination du terme moyen du trinôme $(1+1+1)^{s},$ de celui du quadrinômc $(1+1+1+1)^{2s},$ et ainsi de suite. Considérons le trinôme $(1+1+1)^{s},$ et nommons $y_{s}$ son terme moyen ; $y_{s}$ sera égal au terme indépendant de $e^{\varpi }{\sqrt {-1}}$ dans le développement du trinôme

$\left(e^{\varpi {\sqrt {-1}}}+1+e^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{s}\,;$

on aura conséquemment

$y_{s}={\frac {1}{\pi }}\int d\varpi (2\cos \varpi +1)^{s},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ La condition du maximum de la fonction $(2\cos \varpi +1)^{s}$ donne $\sin \varpi =0,$ en sorte que les deux limites $\varpi =0$ et $\varpi =\pi$ répondent aux deux maxima de cette fonction ; on partagera donc l’intégrale précédente en deux autres

$\int d\varpi (2\cos \varpi +1)^{s}\qquad {\text{et}}\qquad (-1)^{s}\int d\varpi (2\cos \varpi -1)^{s},$

la première de ces deux intégrales étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à la valeur de $\varpi$ qui rend nulle la quantité $2\cos \varpi +1,$ et la seconde intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à la valeur de $\varpi$ qui rend nulle la quantité $2\cos \varpi -1.$

Pour obtenir la première intégrale en série convergente, on fera

$(2\cos \varpi +1)^{s}=3^{s}e^{-t^{2}},$