donne
![{\displaystyle y_{1}=8\mathrm {A} \int du\left(1-u^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=2\mathrm {A} \pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565892ebe0a8a68a012247c516ce79c908843ff2)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {y_{1}}{2\pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123dc992daba6576d73dff4c042fbc519b2c4b33)
en comparant donc les deux valeurs précédentes de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2^{2s}}{\sqrt {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+{\frac {1.3.5.7}{2^{3}}}\alpha ^{3}q^{(3)}+\ldots \right)\\&\qquad ={\frac {(s+1)(s+2)(s+3)\ldots 2s}{1.2.3\ldots s}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f25a9733495b2e059c4d73e59f34c4d8842c68)
Cette dernière quantité est le terme moyen du binôme
la formule précédente donnera donc ce terme par une suite très convergente, lorsque
sera un grand nombre. Il suit de la que le rapport du terme moyen du binôme
à la somme de tous ses termes est égal à
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e5e2a851e0bc988b07575406df6332839c3531)
et par conséquent, lorsque
est très considérable, ce rapport est à très peu près égal à ![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf2ea952a2b648970b8c5a6331fcb6ccba9a3d7)
XXIII.
On peut parvenir plus simplement aux résultats précédents de la manière suivante : pour cela, nommons
le terme moyen du binôme
il est visible que ce terme est égal au terme indépendant de
dans le développement du binôme
or, si l’on multiplie ce binôme par
et que l’on en prenne ensuite l’intégrale depuis
jusqu’à
il est clair que cette intégrale sera égale à
on aura donc, en substituant
au lieu de
![{\displaystyle y_{s}={\frac {2^{2s}}{\pi }}\int d\varpi \cos ^{2s}\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252b91d3dd17e9488c38c9e4aa2d6f451baaa0c5)
Cette intégrale, prise depuis
jusqu’à
est évidemment