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donne

$y_{1}=8\mathrm {A} \int du\left(1-u^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=2\mathrm {A} \pi ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {A} ={\frac {y_{1}}{2\pi }}\,;$

en comparant donc les deux valeurs précédentes de $y_{s},$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {2^{2s}}{\sqrt {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+{\frac {1.3.5}{2^{2}}}\alpha ^{2}q^{(2)}+{\frac {1.3.5.7}{2^{3}}}\alpha ^{3}q^{(3)}+\ldots \right)\\&\qquad ={\frac {(s+1)(s+2)(s+3)\ldots 2s}{1.2.3\ldots s}}.\end{aligned}}$

Cette dernière quantité est le terme moyen du binôme $(1+1)^{2s}\,;$ la formule précédente donnera donc ce terme par une suite très convergente, lorsque $s$ sera un grand nombre. Il suit de la que le rapport du terme moyen du binôme $(1+1)^{2s}$ à la somme de tous ses termes est égal à

${\frac {1}{\sqrt {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}\left(1+{\frac {1.3}{2}}\alpha q^{(1)}+\ldots \right),$

et par conséquent, lorsque $s$ est très considérable, ce rapport est à très peu près égal à ${\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}.$

XXIII.

On peut parvenir plus simplement aux résultats précédents de la manière suivante : pour cela, nommons $y_{s}$ le terme moyen du binôme $(1+1)^{2s}\,;$ il est visible que ce terme est égal au terme indépendant de $e^{\varpi {\sqrt {-1}}}$ dans le développement du binôme $\left(e^{\varpi {\sqrt {-1}}}+e^{-\varpi {\sqrt {-1}}}\right)^{2s}\,;$ or, si l’on multiplie ce binôme par $d\varpi ,$ et que l’on en prenne ensuite l’intégrale depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =180^{\circ },$ il est clair que cette intégrale sera égale à $\pi y_{s}\,;$ on aura donc, en substituant $2\cos \varpi$ au lieu de $e^{\varpi {\sqrt {-1}}}+e^{-\varpi {\sqrt {-1}}},$

$y_{s}={\frac {2^{2s}}{\pi }}\int d\varpi \cos ^{2s}\varpi .$

Cette intégrale, prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =180^{\circ },$ est évidemment