La première équation donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} }{\sqrt {4x-x^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edf83741c688cea629101117e0aaee30cfe5394)
la seconde devient ainsi
![{\displaystyle 0=x^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {4-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f732e109dbe3539eadd2b2687c75533cb3c6971e)
Les limites de l’intégrale
ou
seront, par conséquent,
et
Soit
on aura
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} 2^{2s+1}\int \left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced720740b37685ff0c15701cd14dbc2f2bda7a6)
cette dernière intégrale étant prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf96022d52991f0e22136e0067b7a2ca1b6d3ef)
Pour la déterminer par approximation, nous ferons
![{\displaystyle {\frac {1}{s-{\cfrac {1}{2}}}}=\alpha \qquad {\text{et}}\qquad 1-u^{2}=e^{-\alpha t^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58510b8a6eea37532ae87255763799ccab533935)
ce qui donne
![{\displaystyle u={\sqrt {1-e^{-\alpha t^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded98e038cb99153a2acdc014d70e435c3bcc5a2)
et
![{\displaystyle \int \left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}du=\int due^{-t^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f597fdb095cad3b7db97486c302fc3d85ff30d)
Supposons
![{\displaystyle {\sqrt {1-e^{-\alpha t^{2}}}}=\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(1+\alpha q^{(1)}t^{2}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\alpha ^{4}q^{(4)}t^{8}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5accb547a72de6b24e952f970757464f90a2f370)
en prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1+3\alpha q^{(1)}t^{2}+5\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+7\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots }{t+\alpha q^{(1)}t^{3}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{5}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{7}+\ldots }}\\&\qquad ={\frac {\alpha te^{-\alpha t^{2}}}{1-e^{-\alpha t^{2}}}}={\frac {1-\alpha t^{2}+{\cfrac {1}{1.2}}\alpha ^{2}t^{4}-{\cfrac {1}{1.2.3}}\alpha ^{3}t^{6}+\ldots }{t-{\cfrac {\alpha t^{3}}{1.2}}+{\cfrac {\alpha ^{2}t^{5}}{1.2.3}}-{\cfrac {\alpha ^{3}t^{7}}{1.2.3.4}}+\ldots }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1e3ae074c24bef57bfb8a24700aa4d4327ec34)