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ce que devient $\mathrm {Z}$ lorsqu’on y change $i$ en $i-2\,;$ l’équation ${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} -t\mathrm {Z} '$ donnera ${\frac {1}{t^{i-1}}}=\mathrm {Z} '-t\mathrm {Z} '',$ partant ${\frac {1}{t^{i}}}={\frac {\mathrm {Z} '}{t}}-\mathrm {Z} ''.$ En ajoutant ces deux valeurs de ${\frac {1}{t^{i}}}$ et prenant la moitié de leur somme on aura,

${\frac {1}{t^{i}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {Z} -{\frac {1}{2}}\mathrm {Z} ''+{\frac {1}{2}}(1+t)\left({\frac {1}{t}}-1\right)\mathrm {Z} '\,;$

or on a

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathrm {Z} -{\frac {1}{2}}\mathrm {Z} ''&={\frac {1}{2}}([i+1+{\frac {i(i+1)(i+2)}{1.2.3}}z+\ldots \\&-{\frac {1}{2}}([i-1+{\frac {(i-2)(i-1)i}{1.2.3}}z+\ldots \\=&1+{\frac {i^{2}}{1.2}}z+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}z^{2}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5.6}}z^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

partant

${\begin{aligned}{\frac {u}{t^{i}}}=u&\left[1+{\frac {i^{2}}{1.2}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{0}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5.6}}t^{3}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}+\ldots \right]\\&+{\frac {i}{2}}u(1+t)\left[{\frac {1}{t}}-1+{\frac {i^{2}-1}{1.2.3}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{3}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}=\ldots \right],\end{aligned}}$

d’où l’on conclut, par l’article II, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,

${\begin{aligned}y_{x+i}=y_{x}&+{\frac {i^{2}}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-1}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}\Delta ^{4}y_{x-2}\\&+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5.6}}\Delta ^{6}y_{x-3}+\ldots \\&+{\frac {i}{2}}\Delta \left(y_{x}+y_{x-1}\right)+{\frac {i}{2}}{\frac {i^{2}-1}{1.2.3}}\Delta ^{3}\left(y_{x-1}+y_{x-2}\right)\\&+{\frac {i}{2}}{\frac {(i^{2}-1)(i^{2}-4)}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{5}\left(y_{x-2}+y_{x-3}\right)+\ldots \end{aligned}}$

Cette formule revient à celle que Newton a donnée dans l’opuscule