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arbitraire, cette équation se partage dans les deux suivantes

${\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)\ldots (m-s+1)}}=\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

${\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)\ldots (m-s+1)}}\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}$

$=(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

d’où l’on tire

$\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}=(1+p)^{m}{\frac {\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}}{\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x=p$ jusqu’à $x=\infty ,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty .$ Il sera facile de réduire en séries ces deux intégrales par la méthode de l’article I, on aura ainsi la somme des $s$ premiers termes du binôme $(1+p)^{m},$ par une suite d’autant plus convergente que $s$ et $m$ seront de plus grands nombres.

XXII.

Proposons-nous encore d’intégrer, par approximation, l’équation aux différences finies

$0=(2+4s)y_{s}-(s+1)y_{s+1}.$

Si l’on y fait

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,$

et que l’on suppose $x^{s}=\delta y,$ on aura

$0=\int \varphi dx\left[(2-x)\delta y+\left(4x-x^{2}\right){\frac {d\delta y}{dx}}\right],$

d’où l’on tire les deux équations

${\begin{aligned}0=&(2-x)\varphi -{\frac {d\left[x(4-x)\right]}{dx}},\\0=&x^{s+1}\varphi (4-x).\end{aligned}}$