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aura, pour l’expression complète de $y_{s}$

$y_{s}=\mathrm {A} \int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}+(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

intégrale du premier terme étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et celle du second terme étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p.$ On peut donner encore à l’expression de $y_{s}$ cette forme

$y_{s}=\mathrm {A} '\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}-(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

intégrale du premier terme étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et celle du second terme étant prise depuis $x=p$ jusqu’à $x=\infty \,;\ \mathrm {A} '$ est une constante arbitraire égale à $\mathrm {A} +1.$

Maintenant, l’intégrale de l’équation proposée

$p^{s}=sy_{s}-(m-s)y_{s+1}$

est

$y_{s}={\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)(m-2)\ldots (m-s+1)}}$

$\times \left[\mathrm {Q} -\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)p^{s}}{1.2.3\ldots s}}\right].$

$\mathrm {Q}$ étant une arbitraire et $\sum$ étant la caractéristique des intégrales finies, en sorte que $\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)p^{s}}{1.2.3\ldots s}}$ est égal à

$1+mp+{\frac {m(m-1)}{1.2}}p^{2}+\ldots +{\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-s+2)}{1.2.3\ldots (s-1)}}p^{s-1},$

c’est-à-dire à la somme des $s$ premiers termes du développement du binôme $(1+p)^{m}.$ Si l’on compare cette expression de $y_{s}$ avec celle que nous venons de trouver en intégrales définies, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {A} '\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}-(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}\\&={\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)\ldots (m-s+1)}}\left[\mathrm {Q} -\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}\right].\end{aligned}}$

Si l’on fait $s=1$ dans cette équation, on aura $\mathrm {A'=Q} \,;$ ainsi, $\mathrm {A} '$ étant