en y supposant
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\varphi dx\qquad {\text{et}}\qquad x^{s}=\delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701699e87c5f996160d0b133afa67fa6193146a5)
elle deviendra
![{\displaystyle p^{s}=\int \varphi dx\left[-mx\delta y+x(1+x){\frac {d\delta y}{dx}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3134c64fb93117dd99f32c829966b3480910c93a)
d’où l’on tire les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&mx\varphi +{\frac {d\left[x(1+x)\varphi \right]}{dx}},\\p^{s}=&x^{s+1}(1+x)\varphi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c047737d163d813f67a7a3755035fd4cf8c977)
La première donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {A} }{x(1+x)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c99cfb298a3354e1fdece17538591414c69f282d)
ce qui change la seconde dans celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} x^{s}}{(1+x)^{m}}}=p^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c77e2ea7379dafc89e6bd18cbe34166828425b3)
Supposons d’abord
on aura
et
pour les limites de l’intégrale
étant supposé moindre que
ainsi, dans ce cas, l’intégrale
doit s’étendre depuis
jusqu’à
et l’on aura, avec cette condition,
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} \int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651022eeb29d80fab1d35ddf2ee102062769dc44)
étant une constante arbitraire.
Si
n’est pas nul, les deux limites de
seront
et
on aura ensuite
![{\displaystyle \mathrm {A} =(1+p)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb21281812181bf373fd561a33a1454150887a8)
partant
![{\displaystyle y_{s}=(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bf7628e678dd78a4d0cb8f95069fa55abe1296)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
En réunissant cette valeur à celle que nous venons de trouver dans le cas de
on