Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/287

en y supposant

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx\qquad {\text{et}}\qquad x^{s}=\delta y,$

elle deviendra

$p^{s}=\int \varphi dx\left[-mx\delta y+x(1+x){\frac {d\delta y}{dx}}\right]\,;$

d’où l’on tire les deux équations

${\begin{aligned}0=&mx\varphi +{\frac {d\left[x(1+x)\varphi \right]}{dx}},\\p^{s}=&x^{s+1}(1+x)\varphi .\end{aligned}}$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi ={\frac {\mathrm {A} }{x(1+x)^{m+1}}},$

ce qui change la seconde dans celle-ci

${\frac {\mathrm {A} x^{s}}{(1+x)^{m}}}=p^{s}.$

Supposons d’abord $p=0,$ on aura $x=0$ et $x=\infty$ pour les limites de l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,\ s$ étant supposé moindre que $m\,;$ ainsi, dans ce cas, l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx$ doit s’étendre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et l’on aura, avec cette condition,

$y_{s}=\mathrm {A} \int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire.

Si $p$ n’est pas nul, les deux limites de $x$ seront $x=0$ et $x=p\,;$ on aura ensuite

$\mathrm {A} =(1+p)^{m},$

partant

$y_{s}=(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p.$ En réunissant cette valeur à celle que nous venons de trouver dans le cas de $p=0,$ on