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on aura ainsi

$\int {\frac {e^{-x}dx}{x^{\mu }}}={\frac {e^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int \mathrm {Q} d\varpi ,$

partant

$y_{-s}={\frac {\mathrm {Y} e^{s-\mu }{\sqrt {2\pi }}\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+\ldots \right)}{(-1)^{s-\mu }s^{s-{\frac {1}{2}}}\int \mathrm {Q} d\varpi }}.$

Voyons présentement quelle fonction de $s$ est $y_{s}.$ Pour cela, reprenons l’équation proposée

$0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}\,;$

en y changeant $s$ dans $-s,$ elle devient

$0=(1-s)y_{-s}-y_{1-s}.$

Soit $y_{-s}=u_{s}\,;$ on aura

$0=(s-1)u_{s}+u_{s-1},$

équation dont l’intégrale est

$u_{s}={\frac {(-1)^{s-\mu }\mathrm {Y} }{\mu (\mu +1)(\mu +2)\ldots (s-1)}},$

$\mathrm {Y}$ étant égal à $y_{-\mu }.$ On aura donc

$y_{s}={\frac {(-1)^{s-\mu }\mathrm {Y} }{\mu (\mu +1)(\mu +2)\ldots (s-1)}}.$

Si l’on compare cette expression de $y_{s}$ à la précédente, on aura, en observant que $(-1)^{2s-2\mu }=1,$

${\frac {1}{(\mu +1)(\mu +2)\ldots (s-1)}}={\frac {e^{s-\mu }\mu {\sqrt {2\pi }}\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+\ldots \right)}{s^{s-{\frac {1}{2}}}\int \mathrm {Q} d\varpi }}\,;$

en divisant les deux membres de cette équation par $s$ et en les renversant, on aura

$(\mu +1)(\mu +2)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{\mu -s}}{\mu {\sqrt {2\pi }}}}\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+\ldots \right)\int \mathrm {Q} d\varpi .$

En comparant cette équation à la formule $(q'')$ du numéro précédent,