et, par conséquent,
![{\displaystyle (q)\qquad \qquad y_{s}=\mathrm {Y} {\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right)}{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db93da4ec83155e9bf30049b67645e350c14ae4e)
si
est un nombre considérable, on aura
![{\displaystyle \int x^{\mu }dxe^{-x}=\mu ^{\mu +{\frac {1}{2}}}e^{-\mu }{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12\mu }}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af7cde4d9b2731762f0435637972de5a887821b)
ce qui donne
![{\displaystyle (q')\qquad \qquad y_{s}=\mathrm {Y} {\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}}{\mu ^{\mu +{\frac {1}{2}}}}}e^{\mu -s}\left(1+{\frac {\mu -s}{12\mu s}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c6f98653299aad935219219fa71d6cb15f7005)
ainsi, dans ce cas, le rapport de la demi-circonférence au rayon disparaît, et il ne reste que la seule quantité transcendante ![{\displaystyle e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555e31662b6063bc8e8afb6c4c83a46101db0cb9)
Voyons maintenant de quelle nature est la fonction
pour cela il faut intégrer l’équation aux différences finies
![{\displaystyle 0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cbe4955fdefde9f8f253bc0e410fda3ec9f3dd)
or on trouvera facilement que son intégrale est
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {Y} (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5233285e1ef3eb0e5e1e30c79d33123b026e24d)
On aura donc, en comparant cette expression avec celle de la formule ![{\displaystyle (q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab3106c2c91410bc1ac4b7be0dd5fa3143e6374)
![{\displaystyle (q'')\qquad (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right)}{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b8e91a8eaed446cf64df2236f1cdab30485d05)
Si l’on suppose
on aura
![{\displaystyle \int x^{\mu }dxe^{-x}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fda1f414846838bfab83fec71aeb1ab91928ef)
partant
![{\displaystyle 1.2.3\ldots s=s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fdcdc55a96a84d49108a8b34de30c340d182082)
Si l’on fait
étant moindre que
on aura
![{\displaystyle s=s'+{\frac {m}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdcf881d2a822f5ef342d5aa16d796d213b8103)