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$s$ étant la valeur de $x$ qui répond au maximum de la fonction $x^{s}e^{-x}\,;$ si l’on suppose ensuite $x=s+\theta ,$ on aura \left(1+\frac{\theta}{s}\right)^se^{-\theta}=e^{-t^2},

partant

$t^{2}=-s\log \left(1+{\frac {\theta }{s}}\right)+\theta ={\frac {\theta ^{2}}{2s}}-{\frac {\theta ^{3}}{3s^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{4s^{3}}}-\ldots ,$

ce qui donne, par le retour des suites,

$\theta =t{\sqrt {2s}}+{\frac {2t^{2}}{3}}+{\frac {t^{3}}{9{\sqrt {2s}}}}+\ldots$

et, conséquemment,

$dx=d\theta =dt\left({\sqrt {2s}}+{\frac {4t}{3}}+{\frac {t^{2}}{3{\sqrt {2s}}}}+\ldots \right)\,;$

la fonction $\int x^{s}dxe^{-x}$ deviendra donc

$s^{s}e^{-s}\int dte^{-t^{2}}\left({\sqrt {2s}}+{\frac {4t}{3}}+{\frac {t^{2}}{3{\sqrt {2s}}}}+\ldots \right),$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty .$ En intégrant par la méthode de l’article I, on aura

$\int x^{s}dxe^{-x}=s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right).$

partant

$y_{s}=\mathrm {A} s^{s+{\frac {1}{2}}}e^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right).$

On déterminera la constante arbitraire $\mathrm {A}$ au moyen d’une valeur particulière de $y_{s}\,;$ en supposant, par exemple, que, $s$ étant égal à $\mu ,$ on ait $y_{s}=\mathrm {Y} ,$ on aura

$\mathrm {Y=A} \int x^{\mu }dxe^{-x},$

ce qui donne

$\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {Y} }{\int x^{\mu }dxe^{-x}}}$