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Article III.

Application de la méthode précédente à l’approximation
de diverses fonctions de très grands nombres.

XIX.

Proposons-nous d’intégrer par approximation l’équation aux différences finies

$0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}.$

Si l’on y suppose

$y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,$

on aura, en désignant $x^{s}$ par $\delta y,$

$0=\int \varphi dx\left[(1-x)\delta y+x{\frac {d\delta y}{dx}}\right],$

d’où l’on tire, par l’article précédent, les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&\varphi (1-x)-{\frac {d(x\varphi )}{dx}},\\0=&\varphi x^{s+1}.\end{aligned}}$

La première équation donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} e^{-x},$

et la seconde donne, pour déterminer les limites de l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$

$0=x^{s+1}e^{-x}\,;$

ces limites sont, par conséquent, $x=0$ et $x=\infty .$ Ainsi l’on a

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s}e^{-x}dx,$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty .$

Pour avoir cette intégrale en série, on fera, suivant la méthode de l’article I,

$x^{s}e^{-x}=s^{s}e^{-s}e^{-t^{2}},$