ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Z} =i+1\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]}{1.2.3}}z+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right])}{1.2.3.4.5}}z^{2}\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]\left[(i+1)^{2}-9\right]}{1.2.3.4.5.6.7}}z^{3}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c00d9fc9c31bf90eedface4693429dbad2a8e37)
Si l’on nomme ensuite 
le coefficient de 
* dans le développement de 
on aura 
en changeant, dans 
en 
ce qui donne
On aura ainsi 
pour le coefficient de 
dans le développement de la fraction 
ce sera, par conséquent, l’expression de 
partant
Cela posé, le coefficient de 
dans 
est 
ce même coefficient, dans un terme quelconque de 
tel que 
ou, ce qui revient au même, 
est, par l’article II, égal à 
dans un terme quelconque de 
tel que 
ce coefficient est 
On aura donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x+i}=&(i+1)y_{x}+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-1}\\&+{\frac {(i+1)\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-2}+\ldots \\&-iy_{x-1}-{\frac {i\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-2}\\&-{\frac {i\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-3}-\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc63a21aa441e2bc50701362e8a5e1d0dff5b2f)
On peut varier encore la forme précédente de pour cela, soit 
ce que devient lorsqu’on y change 
en 
et, par conséquent,
