l’intégrale relative à
étant prise entre les limites déterminées par l’équation
et l’intégrale relative à
étant prise entre des limites quelconques. Cette valeur de
y sera, à cause de l’arbitraire
l’intégrale complète de l’équation proposée si cette équation est du premier ordre ; mais, si elle est d’un ordre supérieur, il faudra, au moyen de l’équation
déterminer autant de valeurs de
en
qu’il y a d’unités dans cet ordre ; et la somme des expressions de
auxquelles on parviendra sera la valeur complète de
XVIII.
En considérant avec attention la forme des séries auxquelles la méthode précédente conduit pour déterminer
on voit qu’elle peut toujours se réduire à la suivante
![{\displaystyle \mathrm {H} p^{s}s^{is+r}\left(1+{\frac {q}{s^{r'}}}+{\frac {q'}{s^{r''}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099fb060e5647f95c7f404d41498f26f83bcd54)
étant une constante arbitraire et les nombres
étant positifs et formant une suite croissante. Si l’équation proposée en
est aux différences infiniment petites, alors
parce que, sans cela, les différences de
introduiraient les quantités logarithmiques
qui, par la supposition, ne se rencontrent point dans les coefficients de cette équation ; on aura donc alors
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {H} p^{s}s^{r}\left(1+{\frac {q}{s^{r'}}}+{\frac {q'}{s^{r''}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4648f0101ab67bb480292b61dd6d3a06ec6bd7)
et il sera facile, par les méthodes connues, de déterminer les exposants
et les constantes ![{\displaystyle p,q,p',q',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2925b24dab1d1de9ca9f18e49fc3f01f451bcb)
Si l’équation proposée en
est aux différences finies,
peut n’être pas nul, et la détermination des quantités
peut alors présenter quelques difficultés que nous allons résoudre.
Pour cela, nous observerons que
![{\displaystyle \log(s+n)^{is+in+r}=(is+in+r)\left[\log s+\log \left(1+{\frac {n}{s}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7f65ebd0a9a29972682622fc738e19376cfc04)
![{\displaystyle =(is+in+r)\left(\log s+{\frac {n}{s}}-{\frac {n^{2}}{2s^{2}}}+{\frac {n^{3}}{3s^{3}}}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecea804de8488c8244eebdb4c84dd2482a154722)