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sième étant prise depuis $x={\frac {1}{q''}}$ jusqu’à $x=\infty ,$ et ainsi de suite, $\mathrm {H,H',H''} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires.

Il peut arriver que les nombres $s-l,\ r+1,\ r'+1,\ldots$ soient négatifs et, dans ce cas, l’équation

$0=e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r+1}(1-q'x)^{r'+1}\ldots$

n’est pas satisfaite en y faisant $x=\infty ,\ x={\frac {1}{q}},\ x={\frac {1}{q'}},\ldots \,;$ mais on peut observer que les résultats obtenus dans la supposition où ces nombres sont positifs ont également lieu lorsque ces mêmes nombres sont négatifs. Ainsi, en désignant par $\mathrm {S}$ l’intégrale, soit finie, soit réduite en série, par la méthode de l’article I, de la fonction différentielle

$e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}\ldots ,$

intégrée depuis $x={\frac {1}{q}}$ jusqu’à $x=\infty$ dans le cas où $s-l$ et $r$ sont positifs, si l’on change, dans $\mathrm {S} ,\ r$ dans $-r,$ et que l’on désigne par $\mathrm {S} '$ ce que devient $\mathrm {S} ,$ la fonction $\mathrm {HS} '$ sera une valeur particulière de $y_{s}$ dans le cas où le nombre $r,$ au lieu d’être positif, est négatif et égal à $-r\,;$ car il est visible que l’équation $y_{s}=\mathrm {HS} ,$ satisfaisant à l’équation proposée, $r$ étant positif et quelconque, l’équation $y_{s}=\mathrm {HS} '$ doit pareillement y satisfaire, $r$ étant négatif et quelconque. Ainsi, nous ne balancerons point dans la suite à étendre généralement à tous les cas possibles les résultats obtenus dans le cas où l’équation qui détermine les limites des intégrales est satisfaite.

Il est facile d’étendre la méthode précédente à l’équation aux différences finies

$0=(a+bs)y_{s}+(a'+b's)\Delta y_{s}+(a''+b''s)\Delta ^{2}y_{s}+\ldots$

ou à l’équation aux différences en partie finies et en partie infiniment petites,

${\begin{aligned}0=(a+bs)y_{s}+(a'+b's)\Delta y_{s}&+(a'''+b'''s)\Delta ^{2}y_{s}+\ldots \\+(a''+b''s){\frac {dy_{s}}{ds}}&+(a^{\text{ıv}}+b^{\text{ıv}}s)\Delta {\frac {dy_{s}}{ds}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$