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$\delta y$ étant égal à $e^{-sx}$ on aura

${\begin{aligned}0=\int \varphi dx&\left[{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\delta y\left(a-a'x+a''x^{2}-a'''x^{3}+\ldots \right)\right.\\&\left.\qquad \qquad -{\frac {d\delta y}{dx}}\left(b-b'x+b''x^{2}-\ldots \right)\right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire les deux équations

${\begin{aligned}0=&\varphi \left(a-a'x+a''x^{2}-a'''x^{3}+\ldots \right)+{\frac {d\left[\varphi \left(b-b'x+b''x^{2}-\ldots \right)\right]}{dx}},\\0=&e^{-sx}\varphi \left(b-b'x+b''x^{2}-\ldots \right).\end{aligned}}$

Décomposons la fonction $b-b'x+b''x^{2}-\ldots$ dans ses facteurs, et supposons qu’elle soit égale à

$b(1-qx)(1-q'x)(1-q''x)\ldots ,$

la première équation donnera pour $\varphi$ une expression de cette forme

$\varphi =\mathrm {H} e^{lx}(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}(1-q''x)^{r''}\ldots ,$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire ; partant

$y_{s}=\mathrm {H} \int e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}(1-q''x)^{r''}\ldots ,$

et l’équation qui déterminera les limites de l’intégrale sera

$0=e^{-(s-l)x}(1-qx)^{r+1}(1-q'x)^{r'+1}(1-q''x)^{r''+1}\ldots .$

Ces limites seront conséquemment $x{\frac {1}{q}}$ et $x=\infty ,$ ou $x={\frac {1}{q'}}$ et $x=\infty ,$ etc., en sorte que l’expression complète de $y_{s}$ sera

${\begin{aligned}y_{s}=&\ \quad \mathrm {H} \ \ \int e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}(1-q''x)^{r''}\ldots \\&+\mathrm {H} '\ \int e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}(1-q''x)^{r''}\ldots \\&+\mathrm {H} ''\ \int e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}(1-q''x)^{r''}\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

la première intégrale étant prise depuis $x={\frac {1}{q}}$ jusqu’à $x=\infty \,;$ la seconde intégrale étant prise depuis $x{\frac {1}{q'}}$ jusqu’à $x=\infty \,;$ la troi-