condition, qu’à ces limites la quantité
ou son équivalente
soit nulle ; d’où il suit que ces limites sont
et
On aura donc, par l’article I,
![{\displaystyle y_{s}=\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\sqrt {\pi }}\left(l+{\frac {1}{2}}\alpha l^{(2)}+{\frac {1.3}{2^{2}}}\alpha ^{2}l^{(4)}+{\frac {1.3.5}{2^{3}}}\alpha ^{3}l^{(6)}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aa4c3682c70c624454263e4a796e145ce4eba7)
Cette expression a l’avantage d’être indépendante de la détermination des limites en
qui rendent nulle la fonction
en sorte qu’elle subsisterait toujours dans le cas même où cette fonction égalée à zéro n’aurait pas plusieurs racines réelles. Cette remarque est importante dans cette analyse et donne les moyens de l’étendre à un grand nombre de cas auxquels elle semble d’abord se refuser.
La valeur précédente de
ne renferme qu’une constante arbitraire
et par conséquent, si l’équation proposée est différentielle de l’ordre
elle n’en sera qu’une valeur particulière. Pour avoir l’intégrale complète, il faudra chercher
valeurs différentes de
dans l’équation
![{\displaystyle 0=d(\mathrm {N} \varphi \delta y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6392884eb110982aea41f85dd9031072485b6f3)
Soient
ces
valeurs ; on changera successivement, dans l’expression précédente de
en
et
en
on aura ainsi
valeurs particulières de
qui renfermeront chacune une constante arbitraire ; leur somme sera l’expression complète de cette variable.
XVI.
On peut obtenir directement par la méthode précédente la valeur de
dans l’équation différentielle
au moyen d’intégrales définies ; pour le faire voir par un exemple très général, considérons l’équation différentielle
![{\displaystyle 0=(a+bs)y_{s}+(a'+b's){\frac {dy_{s}}{ds}}+(a''+b''s){\frac {d^{2}y_{s}}{ds^{2}}}+(a'''+b'''s){\frac {d^{3}y_{s}}{ds^{3}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d181c696e7d6a166c3bacb4cdad4152907b247c8)
si l’on y suppose
![{\displaystyle y_{s}=\int \delta y\varphi dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565871a1d56551a9a7d0e8c121518a644176500a)