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Supposons d’abord que l’on ait

$t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}=z,$

et cherchons la valeur de ${\frac {1}{t^{i}}}$ en $s.$

Il est clair que ${\frac {1}{t^{i}}}$ est égal au coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{1-{\cfrac {\theta }{t}}}}\,;$ si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par $1-\theta t,$ on aura celle-ci ${\frac {1-\theta t}{1-\theta \left({\frac {1}{t}}+1\right)+\theta ^{2}}}.$ L’équation

$t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}=z\qquad {\text{donne}}\qquad {\frac {1}{t}}+t=2+z,$

ce qui change la fraction précédente dans la suivante ${\frac {1-\theta t}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}\,;$ or on a

${\frac {1}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}={\frac {1}{(1-\theta )^{2}}}+{\frac {z\theta }{(1-\theta )^{4}}}+{\frac {z^{2}\theta ^{2}}{(1-\theta )^{6}}}+{\frac {z^{3}\theta ^{3}}{(1-\theta )^{8}}}+\ldots .$

D’ailleurs, le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de ${\frac {1}{(1-\theta )^{s}}}$ est égal à ${\frac {1}{1.2.3\ldots r}}{\frac {d^{r}(1-\theta )^{-s}}{d\theta ^{r}}},$ pourvu que l’on suppose $\theta =0$ après les différentiations, ce qui donne ${\frac {s(s+1)(s+2)\ldots (s+r-1)}{1.2.3\ldots r}}$ pour ce coefficient ; d’où il suit que le coefficient de $\theta ^{i}$ est : 1^o $i+1$ dans le développement de ${\frac {1}{(1-\theta )^{2}}}\,;$ 2^o ${\frac {i(i+1)(i+2)}{1.2.3}}$ dans le développement de ${\frac {\theta }{(1-\theta )^{4}}}\,;$ 3^o ${\frac {(i-1)i(i+1)(i+2)(i+3)}{1.2.3.4.5}}$ dans le développement de ${\frac {\theta ^{2}}{(1-\theta )^{6}}},$ et ainsi du reste. Donc, si l’on nomme $\mathrm {Z}$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{(1-\theta )^{2}-z\theta }},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Z} =i+1&+{\frac {i(i+1)(i+2)}{1.2.3}}z+{\frac {(i-1)i(i+1)(i+2)(i+3)}{1.2.3.4.5}}z^{2}\\&+{\frac {(i-2)(i-1)i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}{1.2.3.4.5.6.7}}z^{3}+\ldots \end{aligned}}$