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${\frac {d\delta y}{dx}}$ dans ces équations, on aura les suivantes :

${\begin{aligned}0=&x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d\left(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} \right)}{1.2dx}}+\ldots ,\\0=&{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\0=&x\Delta \mathrm {Z} '-{\frac {d\left(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '\right)}{1.2dx}}+\ldots ,\\0=&{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '}{1.2}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On éliminera au moyen de ces équations toutes les constantes arbitraires, moins une, des valeurs de $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots ,$ et l’on arrivera à une équation finale en $x$ dont les racines seront les limites des intégrales $\int x^{s}\varphi dx,\int x^{s}\varphi 'dx,\ldots \,;$ on déterminera autant de ces limites qu’il sera nécessaire pour que les valeurs de $y_{s},y'_{s},\ldots$ soient complètes.

Supposons maintenant que $\mathrm {S}$ ne soit pas nul et qu’il soit égal à

$p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]\,;$

en faisant $\mathrm {C} =0$ dans l’équation $(b)$ et en y mettant $x^{s}$ au lieu de $\delta y,$ on aura

$p^{s}\left[l+l^{(1)}s+l^{(2)}s(s-1)+\ldots \right]$

$=x^{s}\left[x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d\left(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} \right)}{1.2dx}}+\ldots \right]+sx^{s}\left({\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-\ldots \right)+\ldots ,$

d’où l’on tire d’abord $x=p,$ en sorte que les intégrales $\int x^{s}\varphi dx,$$\int x^{s}\varphi 'dx,$$\ldots$ doivent être prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=p.$ La comparaison des coefficients de $s,s(s-1),\ldots$ donnera autant d’équations entre les constantes arbitraires des valeurs de $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots \,;$ l’égalité à zéro de ces mêmes coefficients dans les équations $(b'),(b''),\ldots$ donnera de nouvelles équations entre ces arbitraires, que l’on pourra conséquemment déterminer au moyen de toutes ces équations. On aura ainsi les valeurs particulières de $y_{s}$ qui satisfont au cas où, $\mathrm {S',S''} ,\ldots$