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équations suivantes :

$(a)\qquad \qquad \qquad 0=\mathrm {Z} -{\frac {d(x\Delta \mathrm {Z} )}{dx}}+{\frac {d^{2}(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx^{2}}}-\ldots ,$

$(b)\qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S=C} &+\delta y\left[x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d\left(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} \right)}{1.2dx}}+{\frac {d^{2}\left(x^{3}\Delta ^{3}\mathrm {Z} \right)}{1.2.3dx^{2}}}-\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left[{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-{\frac {d\left(x^{3}\Delta ^{3}\mathrm {Z} \right)}{1.2.3dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\left({\frac {x^{3}\Delta ^{3}\mathrm {Z} }{1.2.3}}-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

L’équation

$\mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,$

traitée de la même manière, donnera les deux suivantes :

$(a')\qquad \qquad \qquad 0=\mathrm {Z} '-{\frac {d(x\Delta \mathrm {Z} ')}{dx}}+{\frac {d^{2}(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} ')}{1.2dx^{2}}}-\ldots ,$

$(b')\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S'=C'} &+\delta y\left[x\Delta \mathrm {Z} '-{\frac {d\left(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '\right)}{1.2dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left({\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '}{1.2}}-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Les équations

$\mathrm {S} ''=\int x^{s}z''dx,\qquad \mathrm {S} '''=\int x^{s}z'''dx,\qquad \ldots$

produiront des équations semblables que nous désignerons par $(a''),(b''),$$(a'''),(b'''),\ldots .$

Les équations $(a),(a'),(a''),\ldots$ détermineront les variables $\varphi ,\varphi ',\varphi '',$$\ldots$ en $x,$ et les équations $(b),(b'),(b''),\ldots$ détermineront les limites dans lesquelles on doit prendre les intégrales $\int x^{s}\varphi dx,$$\int x^{s}\varphi 'dx,\ldots .$ Pour cela, on supposera d’abord $\mathrm {S,S',S''} ,\ldots$ nuls ; en faisant ensuite $\mathrm {C,C',C''} ,\ldots$ nuls dans les équations $(b),(b'),(b''),\ldots$ et en égalant séparément à zéro les coefficients de $\delta y,$