On pourra donc mettre les équations dont il s’agit sous les formes suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} \ \ =&\int x^{s}zdx,\\\mathrm {S} '\,=&\int x^{s}z'dx,\\\mathrm {S} ''=&\int x^{s}z''dx,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d9707e8f68417e1f217876944f0ba9a34bcaf0)
étant fonctions de
et
étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de
dans lesquelles
sont sous une forme linéaire.
Considérons d’abord l’équation
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}zdx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f1590dded7aaf23b5f58df730f5c5309889c1b)
on a
![{\displaystyle z=\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}\mathrm {Z} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04323700bba2a699f92a945294503b5b4484d361)
étant ce que deviennent
lorsqu’on y suppose
Partant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}dx\left[\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfd2bbcbc7adc6e8e0584e8490d495c409a98b1)
Or, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2750baea2f2f3f369bf5c318bf1ab9528613e329)
L’équation précédente deviendra ainsi
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int dx\left(\mathrm {Z} \delta y+x\Delta \mathrm {Z} {\frac {d\delta y}{dx}}+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147cbe997bda14be9849ed5f6bb31b2141854771)
d’où l’on tire, en intégrant par parties comme dans le no VIII, les deux