Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/266

On pourra donc mettre les équations dont il s’agit sous les formes suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {S} \ \ =&\int x^{s}zdx,\\\mathrm {S} '\,=&\int x^{s}z'dx,\\\mathrm {S} ''=&\int x^{s}z''dx,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {S,S',S''} ,\ldots$ étant fonctions de $s,$ et $z,z',z'',\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de $x,\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots ,$ dans lesquelles $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots$ sont sous une forme linéaire.

Considérons d’abord l’équation

$\mathrm {S} =\int x^{s}zdx\,;$

on a

$z=\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}\mathrm {Z} +\ldots ,$

$\mathrm {Z} ,\Delta \mathrm {Z} ,\Delta ^{2}\mathrm {Z} ,\ldots$ étant ce que deviennent $z,\Delta z,\Delta ^{2}z,\ldots$ lorsqu’on y suppose $s=0.$ Partant, on aura

$\mathrm {S} =\int x^{s}dx\left[\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +\ldots \right].$

Or, si l’on fait $x^{s}=\delta y,$ on aura

$sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots .$

L’équation précédente deviendra ainsi

$\mathrm {S} =\int dx\left(\mathrm {Z} \delta y+x\Delta \mathrm {Z} {\frac {d\delta y}{dx}}+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right).$

d’où l’on tire, en intégrant par parties comme dans le n^o VIII, les deux