Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/265

change successivement $\sideset {^{n-1}}{_{s}}u$ dans $\sideset {^{n-2}}{_{s}}u,\sideset {^{n-3}}{_{s}}u,\ldots$ et réciproquement ; enfin désignons par $\mathrm {L}$ le coefficient de $\Delta ^{n}y_{s}$ dans l’équation (1). L’intégrale complète de cette équation sera, comme je l’ai fait voir ailleurs (t. VII des Mémoires des Savants étrangers, p. 56) ^[1],

$y_{s}=u_{s}\left(\mathrm {H} +\sum \mathrm {\frac {S}{L}} z_{x}\right)+\sideset {^{1}}{_{s}}u\left(\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\sum \mathrm {\frac {S}{L}} \sideset {^{1}}{_{x}}z\right)+\ldots +$

$\sideset {^{n-1}}{_{s}}u\left(\sideset {^{n-1}}{}{\mathrm {H} }+\sum \mathrm {\frac {S}{L}} \sideset {^{n-1}}{_{x}}z\right),$

la caractéristique $\sum$ étant celle des intégrales finies ; on pourra donc toujours réduire en séries convergentes toutes les fonctions de cette nature, pourvu que $\mathrm {S}$ ait la forme que nous lui avons assignée dans le numéro précédent.

XII.

Considérons généralement le cas où l’on a un nombre quelconque d’équations linéaires aux différences finies, entre un pareil nombre de variables $y_{s},y'_{s},y''_{s},\ldots ,$ et dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de $s.$ Si l’on suppose

${\begin{aligned}y_{s}\,=&\int x^{s}\varphi dx,\\y'_{s}=&\int x^{s}\varphi 'dx,\\y''_{s}=&\int x^{s}\varphi ''dx,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ces différentes intégrales étant toutes étendues dans les mêmes limites indépendantes de $s,$ on aura

${\begin{aligned}\Delta \ y_{s}\,=&\int x^{s}(x-1)\varphi dx,\\\Delta ^{2}y_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi dx,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\Delta \ y'_{s}\,=&\int x^{s}(x-1)\varphi 'dx,\\\Delta ^{2}y'_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi 'dx,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 87.