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gentes les différents termes de cette expression lorsque 5 sera un nombre considérable.

XI.

Pour déterminer la fonction $y,$ de $s,$ que l’on parvient ainsi à réduire en séries convergentes, reprenons l’équation (1) du n^o VIII et supposons qu’elle soit différentielle de l’ordre $n\,;$ si l’on désigne par $u_{s},\sideset {^{1}}{_{s}}u,\sideset {^{2}}{_{s}}u,\ldots$ les $n$ valeurs particulières qui y satisfont, lorsqu’on y fait $\mathrm {S} =0,$ en sorte que son intégrale complète soit alors

$y_{s}=\mathrm {H} u_{s}+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{1}}{_{s}}u+\sideset {^{2}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{2}}{_{s}}u+\ldots +\sideset {^{n-1}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{n-1}}{_{s}}u+\,;$

si l’on forme ensuite les quantités suivantes

${\begin{aligned}u_{s}^{1}=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\sideset {^{1}}{^{1}_{s}}u=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{2}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\sideset {^{2}}{^{1}_{s}}u=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{3}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\u_{s}^{2}=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\sideset {^{1}}{^{2}_{s}}u=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{2}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\sideset {^{2}}{^{2}_{s}}u=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{3}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\u_{s}^{3}=&u_{s}^{2}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{^{2}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en continuant ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à former $u_{s}^{n-1},$ soit

$u_{s}^{n-1}={\frac {1}{\sideset {^{n-1}}{_{x-n}}z}},$

et nommons ${\frac {1}{\sideset {^{n-2}}{_{x-n}}z}},{\frac {1}{\sideset {^{n-3}}{_{x-n}}z}},\ldots$ ce que devient $u_{s}^{n-1}$ lorsqu’on y